O vapor d’água passa por uma expansão isentrópica, em um bocal convergente/divergente, de uma condição na entrada de
e uma velocidade desprezível, para uma pressão na descarga de
. Na garganta, a área da seção reta é de
. Determine a vazão mássica do vapor d’água e o estado do vapor na saída do bocal.
Passo 1
O enunciado diz o seguinte: vapor d’água esbarra num bocal convergente-divergente e passa por uma expansão totalmente isentrópica. Na entrada temos
- P₀ = 1400 kPa
- T₀ = 325 °C
- velocidade inicial ≃ 0
Na garganta (a menor área do bocal) A = 6 cm²
Na descarga o vapor sai à pressão estática P₂ = 120 kPa.
O conteúdo é escoamento isentrópico em bocal (termodinâmica de gases perfeitos). Vamos precisar:
• Relações isentrópicas para gases perfeitos (P–T, P* crítico, fórmula de vazão estrangulada)
• Calcular vazão mássica choked flow na garganta
• Encontrar T₂ pela relação isentrópica
• Verificar se T₂ é menor que a temperatura de saturação em 120 kPa
Passo 2
Definindo propriedades do vapor como gás perfeito:
• R = 461,5 J/(kg·K)
• γ = 1,33
• T₀ = 325 °C = 598,15 K
• P₀ = 1400 kPa
• A = 6 cm² = 6·10⁻⁴ m²
• R = 461,5 J/(kg·K)
• γ = 1,33
• T₀ = 325 °C = 598,15 K
• P₀ = 1400 kPa
• A = 6 cm² = 6·10⁻⁴ m²
Para escoamento isentrópico estrangulado (choked) na garganta, a pressão crítica P* é dada pela relação conhecida
P*/P₀ = (2/(γ+1))^(γ/(γ-1))
e a vazão mássica por área na garganta é
(ṁ/A) = P₀ √[γ/(R·T₀)] · (2/(γ+1))^((γ+1)/(2(γ-1)))
Passo 3
Calculemos P*/P₀ e o fator de vazão:
(1) P*/P₀ = (2/(1.33+1))^(1.33/0.33) ≃ (2/2.33)^4.03 ≃ 0.5835
(2) √[γ/(R·T₀)] = √[1.33/(461.5·598.15)] ≃ 0.002196 (kg·s)/(Pa·m)
(3) Fator isentrópico = (2/(γ+1))^((γ+1)/(2(γ-1))) ≃ 0.5835
(1) P*/P₀ = (2/(1.33+1))^(1.33/0.33) ≃ (2/2.33)^4.03 ≃ 0.5835
(2) √[γ/(R·T₀)] = √[1.33/(461.5·598.15)] ≃ 0.002196 (kg·s)/(Pa·m)
(3) Fator isentrópico = (2/(γ+1))^((γ+1)/(2(γ-1))) ≃ 0.5835
Logo
ṁ = A·P₀·√[γ/(R·T₀)]·(2/(γ+1))^((γ+1)/(2(γ-1)))
= 6·10⁻⁴·1,4·10⁶·0.002196·0.5835
≃ 1,08 kg/s
ṁ = A·P₀·√[γ/(R·T₀)]·(2/(γ+1))^((γ+1)/(2(γ-1)))
= 6·10⁻⁴·1,4·10⁶·0.002196·0.5835
≃ 1,08 kg/s
Passo 4
Agora o estado de saída (estático) a P₂=120 kPa. Pela relação isentrópica T₂/T₀ = (P₂/P₀)^((γ-1)/γ):
P₂/P₀ = 120/1400 = 0,0857
(γ–1)/γ = 0,33/1.33 ≃ 0,2481
T₂ = 598,15·(0,0857)^0.2481 ≃ 598,15·0.5438 ≃ 325,3 K ≃ 52,2 °C
P₂/P₀ = 120/1400 = 0,0857
(γ–1)/γ = 0,33/1.33 ≃ 0,2481
T₂ = 598,15·(0,0857)^0.2481 ≃ 598,15·0.5438 ≃ 325,3 K ≃ 52,2 °C
Passo 5
Compare T₂ com a temperatura de saturação em 120 kPa, que é Tsat≈105 °C.
Como T₂≈52 °C < Tsat, o vapor sai em regime bifásico (mistura líquido‐vapor).
Como T₂≈52 °C < Tsat, o vapor sai em regime bifásico (mistura líquido‐vapor).
Para achar a qualidade x usamos balanço de entalpia aproximado (gás perfeito):
h₂ ≃ cₚ·T₂, h₁ ≃ cₚ·T₀, Δh = h₁–h₂ → v₂ = √(2·Δh)
cₚ = γ·R/(γ–1) ≃ 1.33·461,5/0.33 ≃ 1859 J/(kg·K)
h₂ ≃ 1859·325,3 = 605 kJ/kg
v₂²/2 = h₁–h₂ = 1859·(598,15–325,3) ≃ 508 kJ/kg
v₂ ≃ √(2·508·10³) ≃ 1008 m/s
h₂ ≃ cₚ·T₂, h₁ ≃ cₚ·T₀, Δh = h₁–h₂ → v₂ = √(2·Δh)
cₚ = γ·R/(γ–1) ≃ 1.33·461,5/0.33 ≃ 1859 J/(kg·K)
h₂ ≃ 1859·325,3 = 605 kJ/kg
v₂²/2 = h₁–h₂ = 1859·(598,15–325,3) ≃ 508 kJ/kg
v₂ ≃ √(2·508·10³) ≃ 1008 m/s
Entalpia de saturação líquida hf≈444 kJ/kg e hfg≈2201 kJ/kg em 120 kPa, então
x = (h₂–hf)/hfg = (605–444)/2201 ≃ 0,073 → 7,3% de vapor na saída
x = (h₂–hf)/hfg = (605–444)/2201 ≃ 0,073 → 7,3% de vapor na saída
Resposta
Vazão mássica ṁ ≃ 1,08 kg/s; na saída o vapor está em mistura bifásica (qualidade x ≃ 0,073).