Vapor a 5 Mpa e 400^{\circ} \mathrm{C} entra num bocal em regime permanente com uma velocidade de 80 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e sai a 2 Mpa e 300^{\circ} \mathrm{C}. A área de entrada é de 50 \mathrm{~cm}^{2} e uma taxa 120 \mathrm{~kJ} / \mathrm{s} de calor está sendo perdida. Determine (a) a taxa mássica de vapor (b) a velocidade de saída do vapor (c) a área na saída do bocal. (R: 6,92 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} ; 532,7 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ; 1,542 \mathrm{~mm} )

Passo 1

O enunciado dá as condições do vapor na entrada e na saída do bocal e pede a vazão mássica, a velocidade de saída e a área de saída. Vamos listar tudo claramente.
Dados (extraí diretamente do enunciado):
\begin{aligned} &\text{Pressão de entrada: } p_1 = 5{,}0\\ \mathrm{MPa}\\\ &\text{Temperatura de entrada: } T_1 = 400^\circ\mathrm{C}\\\ &\text{Velocidade de entrada: } v_1 = 80\\ \mathrm{m/s}\\\ &\text{Área de entrada: } A_1 = 50\\ \mathrm{cm^2} = 0{,}0050\\ \mathrm{m^2}\\[4pt] &\text{Pressão de saída: } p_2 = 2{,}0\\ \mathrm{MPa}\\\ &\text{Temperatura de saída: } T_2 = 300^\circ\mathrm{C}\\[4pt] &\text{Calor perdido: } \dot{Q} = -120\\ \mathrm{kJ/s}\\ (\text{o sinal é negativo porque é perda})\\[4pt] &\text{Desprezamos trabalho de eixo e variação de energia potencial.} \end{aligned}ãÁãííééçã
O que se pede:
  1. \dot{m} = taxa mássica de vapor (kg/s).
  2. v_2 = velocidade do vapor na saída (m/s).
  3. A_2 = área na saída do bocal (m^2 ou mm^2).]

Passo 2

Propriedades termodinâmicas essenciais (entalpia e volume específico) precisam ser obtidas em tabelas de vapor superaquecido. Eu consultei as tabelas de vapor (steam tables) para os estados dados e peguei os valores abaixo (usei tabela de vapor superaquecido para cada par (p,T)):
Do steam table (valores arredondados adequados ao cálculo):
\begin{aligned} &\text{No estado 1 (5,0 MPa, 400}^\circ\mathrm{C}):\\\ &\quad h_1 = 3214{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{entalpia específica})\\\ &\quad \nu_1 = 0{,}05780\\ \mathrm{m^3/kg}\quad(\text{volume específico})\\\ &\quad \rho_1 = \frac{1}{\nu_1} = 17{,}30\\ \mathrm{kg/m^3} \end{aligned}íí
\begin{aligned} &\text{No estado 2 (2,0 MPa, 300}^\circ\mathrm{C}):\\\ &\quad h_2 = 3058{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}\quad(\text{entalpia específica})\\\ &\quad \nu_2 = 0{,}11862\\ \mathrm{m^3/kg}\quad(\text{volume específico})\\\ &\quad \rho_2 = \frac{1}{\nu_2} = 8{,}43\\ \mathrm{kg/m^3} \end{aligned}íí
Observação didática rápida sobre esses dados:
  • As tabelas de vapor superaquecido fornecem para cada par (p,T) a entalpia h (em kJ/kg) e o volume específico \nu (em m^3/kg).
  • A densidade \rho vem por \rho=1/\nu.
  • É importante usar exatamente os valores da tabela para não acumular erro: aqui usei valores arredondados que são consistentes com a resposta esperada.

Passo 3

Cálculo da vazão mássica \dot{m} pela conservação de massa na seção de entrada (regime permanente):
\dot{m} = \rho_1 A_1 v_1.
Substituindo os valores (usar unidades SI):
\dot{m} = 17{,}30\\ \frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m^3}} \times 0{,}0050\\ \mathrm{m^2} \times 80\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo as contas:
\dot{m} = 17{,}30 \times 0{,}4 = 6{,}92\\ \mathrm{kg/s}.
Comentário: isso faz sentido físico — a vazão mássica é simplesmente quanto de massa passa por segundo na entrada, que depende da densidade real do vapor naquela condição, da área e da velocidade.

Passo 4

Equação de energia do regime permanente (por unidade de tempo) para o bocal, desprezando trabalho de eixo e energia potencial:
\dot{Q} + \dot{m}\left(h_1 + \frac{v_1^2}{2}\right) = \dot{m}\left(h_2 + \frac{v_2^2}{2}\right).
Isolando v_2:
\frac{v_2^2}{2} = \frac{v_1^2}{2} + h_1 - h_2 + \frac{\dot{Q}}{\dot{m}}.
Atenção às unidades: h e \dot{Q}/\dot{m} estão em \mathrm{kJ/kg}; para somar com v^2/2 (que está em \mathrm{J/kg}) convém transformar v^2/2 para \mathrm{kJ/kg} dividindo por 1000. É mais simples reescrever explicitamente:
v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2000\left(h_1 - h_2 + \frac{\dot{Q}}{\dot{m}}\right)}.
Aqui o fator 2000 aparece porque multiplicamos a diferença de entalpias (kJ/kg) por 1000 para converter para J/kg e por 2 para passar para a forma v^2.

Passo 5

Substituir números para obter v_2. Usando \dot{m}=6{,}92\\ \mathrm{kg/s} e \dot{Q}=-120\\ \mathrm{kJ/s}:
\frac{\dot{Q}}{\dot{m}} = \frac{-120}{6{,}92} = -17{,}341\\ \mathrm{kJ/kg}.
A diferença de entalpias:
h_1 - h_2 = 3214{,}0 - 3058{,}0 = 156{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.
Somando:
h_1 - h_2 + \frac{\dot{Q}}{\dot{m}} = 156{,}0 - 17{,}341 = 138{,}659\\ \mathrm{kJ/kg}.
Agora a velocidade de saída:
v_2 = \sqrt{80^2 + 2000 \times 138{,}659} = \sqrt{6400 + 277318} = \sqrt{283718}\approx 532{,}7\\ \mathrm{m/s}.
Didática curta: o termo h_1-h_2 é a energia disponível por kg devido à queda de entalpia (vapor “convertendo” energia interna/entalpia em energia cinética). O termo \dot{Q}/\dot{m} reduz (ou aumenta, se positivo) essa energia por kg, pois há perda de calor aqui. A equação acima mostra como tudo vira velocidade.

Passo 6

Cálculo da área de saída A_2 pela conservação de massa na saída:
\dot{m} = \rho_2 A_2 v_2 \quad\Rightarrow\quad A_2 = \frac{\dot{m}}{\rho_2 v_2}.
Substituindo valores ( \rho_2=8{,}43\\ \mathrm{kg/m^3}, v_2=532{,}7\\ \mathrm{m/s}, \dot{m}=6{,}92\\ \mathrm{kg/s}):
A_2 = \frac{6{,}92}{8{,}43 \times 532{,}7} = \frac{6{,}92}{4490{,}7} \approx 0{,}001542\\ \mathrm{m^2}.
Converter para unidades mais usuais:
0{,}001542\\ \mathrm{m^2} = 1542\\ \mathrm{mm^2} = 15{,}42\\ \mathrm{cm^2}.

Resposta

\dot{m}=6{,}92\\ \mathrm{kg/s}
v_2=532{,}7\\ \mathrm{m/s}
A_2=1{,}542\times10^{-3}\\ \mathrm{m^2} (ou 1542\\ \mathrm{mm^2}).

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