Calcule as variações na energia interna e na entalpia que ocorrem quando ar é levado de um estado inicial de 40^{\circ} \mathrm{F} e 10 atm , no qual seu volume molar é de 36,49 \mathrm{ft}^{3} / \mathrm{lbmol}, para um estado final a 140^{\circ} \mathrm{F} e 1 atm . Admita, que para o ar, \mathrm{PV} / \mathrm{T} é constante e que \mathrm{C}_{\mathrm{v}} =5 \mathrm{Btu} /\left(\mathrm{lb} \mathrm{mol}{ }^{\circ} \mathrm{F}\right) \mathrm{e} \mathrm{C}_{\mathrm{p}}=7 \mathrm{Btu} /\left(\mathrm{lb} \mathrm{mol}{ }^{\circ} \mathrm{F}\right)

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule as variações na energia interna e na entalpia quando ar passa do estado inicial para o estado final. Informação dada:
  • Estado inicial: temperatura 40^{\circ}\mathrm{F} e pressão 10\\ \mathrm{atm}.
  • No estado inicial o volume molar é \,36,49\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbmol} (dado do enunciado).
  • Estado final: temperatura 140^{\circ}\mathrm{F} e pressão 1\\ \mathrm{atm}.
  • Admitir que \mathrm{PV}/\mathrm{T} é constante (isto é, comportamento ideal semelhante).
  • Capacidades caloríficas fornecidas: \mathrm{C}_{\mathrm{v}} = 5\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\,{}^{\circ}\mathrm{F}) e \mathrm{C}_{\mathrm{p}} = 7\\ \mathrm{Btu}/(\mathrm{lbmol}\,{}^{\circ}\mathrm{F}).
O que é pedido explicitamente:
  • Calcular \Delta U (variação da energia interna) entre os dois estados.
  • Calcular \Delta H (variação da entalpia) entre os dois estados.

Passo 2

Conceitos fundamentais (aula rapidinha e direta):
  • Para um gás que satisfaz \mathrm{PV}/\mathrm{T}= constante (comportamento ideal), a energia interna U depende somente da temperatura absoluta. Logo, a variação de energia interna quando o gás vai de uma temperatura para outra é dada por
\Delta U = C_{v}\,\Delta T,
onde C_{v} é a capacidade calorífica molar a volume constante e \Delta T = T_2 - T_1 é a variação da temperatura absoluta.
  • De modo análogo, a entalpia H de um gás ideal depende somente da temperatura e
\Delta H = C_{p}\,\Delta T,
onde C_{p} é a capacidade calorífica molar a pressão constante.
  • Observação importante sobre unidades de temperatura: as fórmulas acima requerem temperatura absoluta (Rankine ou Kelvin). No entanto, a diferença entre temperaturas em graus Fahrenheit e em graus Rankine tem o mesmo tamanho de unidade (1 grau Fahrenheit = 1 grau Rankine), logo a variação \Delta T em ^{\circ}\mathrm{F} é numericamente igual à variação em ^{\circ}\mathrm{R}. Assim podemos usar \Delta T em ^{\circ}\mathrm{F} diretamente desde que C_v e C_p estejam por grau Fahrenheit, como dado.

Passo 3

Converter as temperaturas para absoluta (Rankine) para ficar formal, e obter \Delta T:
  • Temperatura inicial em Rankine:
T_1 = 40^{\circ}\mathrm{F} + 459{,}67 = 499{,}67\\ ^{\circ}\mathrm{R}.
  • Temperatura final em Rankine:
T_2 = 140^{\circ}\mathrm{F} + 459{,}67 = 599{,}67\\ ^{\circ}\mathrm{R}.
  • Variação de temperatura:
\Delta T = T_2 - T_1 = 599{,}67 - 499{,}67 = 100\\ ^{\circ}\mathrm{R}.
Observação didática: note que numericamente \Delta T = 100\\ ^{\circ}\mathrm{F} também serve, porque o tamanho do grau é o mesmo em Fahrenheit e Rankine.

Passo 4

Calcular a variação da energia interna usando \Delta U = C_v\,\Delta T.
  • Substituindo os valores fornecidos:
\Delta U = 5\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbmol}\,{}^{\circ}\mathrm{F}}\times 100\\ ^{\circ}\mathrm{F}.
  • Fazendo a conta (mostrando passo a passo):
5 \times 100 = 500,
logo
\Delta U = 500\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbmol}.
Interpretação: a energia interna aumenta em 500\\ \mathrm{Btu} por mol-livre (por \mathrm{lbmol}) quando a temperatura sobe de 40^{\circ}\mathrm{F} para 140^{\circ}\mathrm{F}.

Passo 5

Calcular a variação da entalpia usando \Delta H = C_p\,\Delta T.
  • Substituindo os valores fornecidos:
\Delta H = 7\\ \frac{\mathrm{Btu}}{\mathrm{lbmol}\,{}^{\circ}\mathrm{F}}\times 100\\ ^{\circ}\mathrm{F}.
  • Fazendo a conta:
7 \times 100 = 700,
logo
\Delta H = 700\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbmol}.
Interpretação: a entalpia aumenta em 700\\ \mathrm{Btu} por \mathrm{lbmol} no processo considerado.

Passo 6

Comentário extra (uso do dado do volume molar): podemos verificar/usar a lei \mathrm{P}V/T= constante para encontrar o volume molar final se quisermos (apenas para checar consistência ou obter V_2):
\frac{P_1 V_1}{T_1}=\frac{P_2 V_2}{T_2}\quad\Rightarrow\quad V_2 = V_1\frac{P_1}{P_2}\frac{T_2}{T_1}.
Substituindo V_1=36{,}49\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbmol}, P_1=10\\ \mathrm{atm}, P_2=1\\ \mathrm{atm}, T_1=499{,}67\\ ^{\circ}\mathrm{R}, T_2=599{,}67\\ ^{\circ}\mathrm{R}, obtém-se aproximadamente
V_2 \approx 36{,}49\times 10\times\frac{599{,}67}{499{,}67}\approx 437{,}9\\ \mathrm{ft}^3/\mathrm{lbmol}.
Isto só confirma que o volume cresce muito porque a pressão caiu de 10 para 1 atm enquanto a temperatura subiu pouco.

Resposta

\Delta U = +500\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbmol}
\Delta H = +700\\ \mathrm{Btu}/\mathrm{lbmol}

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