Ex. 2 - Qual é a variação de entropia para 3,20 \mathrm{~mol} de gás metano ( \mathrm{CH}_{4} ) ideal que sofrem um aumento reversível de temperatura de 380 K para 425 K a volume constante?
\Delta S=n c_{v} \ln \left(\frac{T_{f}}{T_{i}}\right)+n R \ln \left(\frac{V_{f}}{V_{i}}\right)

Passo 1

O enunciado pede a variação de entropia \Delta S de n=3,20 mol de metano \mathrm{CH}_4 ideal, em um processo reversível de aquecimento a volume constante, de T_i=380,K até T_f=425,K. Vamos aplicar a fórmula geral
\Delta S = n\,c_v \ln\!\biggl(\frac{T_f}{T_i}\biggr) + n\,R \ln\!\bigl(\tfrac{V_f}{V_i}\bigr)
e usar conceitos de calor específico molar a volume constante para gás ideal.

Passo 2

Como o volume é constante, temos \tfrac{V_f}{V_i}=1 e portanto
\ln\!\bigl(\tfrac{V_f}{V_i}\bigr)=0.
Isso anula o segundo termo, ficando
\Delta S = n\,c_v \ln\!\bigl(\tfrac{T_f}{T_i}\bigr).

Passo 3

Para um gás ideal não-linear (metano) em temperaturas onde só translação e rotação estão ativadas, o calor específico molar a volume constante é
c_v = \frac{f}{2}R,\quad f=6\quad\Longrightarrow\quad c_v = 3R.
Como R=8{,}314, J\cdot mol ^{-1}·K ^{-1}, segue
c_v = 3\times 8{,}314 = 24{,}942\\ \text{J\cdotmol}^{-1}\text{\cdotK}^{-1}.

Passo 4

Substituindo em \Delta S = n\,c_v\ln(T_f/T_i):
\Delta S = 3{,}20 \times 24{,}942\\ \ln\!\bigl(\tfrac{425}{380}\bigr).
Calculando o logaritmo e o produto:
\ln\!\bigl(\tfrac{425}{380}\bigr)\approx 0{,}112,\quad 3{,}20\times24{,}942\approx79{,}82,
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\Delta S \approx 79{,}82\times0{,}112 = 8{,}94\\ \text{J\cdotK}^{-1}.

Resposta

\displaystyle \Delta S \approx 8{,}94\\ \text{J\cdotK}^{-1}

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