A variação de volume de mistura ( \mathrm{cm} 3 / \mathrm{mol} ) para o sistema etanol(1)/éter-metilbutílico(2), a 25^{\circ} \mathrm{C}, é dada pela equação:
\Delta v_{m i s}\left(\mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}\right)=x_{1} x_{2}\left[-1,026+0,220\left(x_{1}-x_{2}\right)\right]
Considere os volumes molares das espécies puras fornecidos: v1 =58,63 \mathrm{~cm} 3 / \mathrm{mol} e v2 =118,46 \mathrm{~cm} 3 / \mathrm{mol}.
a) (vale 2,0 pontos) Qual o volume da mistura formada quando 750 \mathrm{~cm}^{3} da espécie I pura são misturadas com 1500 \mathrm{~cm}^{3} da espécie 2 a 25^{\circ} \mathrm{C} ? Qual seria o volume se uma solução ideal fosse formada.
b) (vale 2,0 pontos) Estime \bar{V}_{1}

Passo 1

O enunciado dá a variação de volume de mistura por mol de mistura a 25^\circ\mathrm{C} para o sistema etanol (1) / éter‐metilbutílico (2):
\Delta v_{\mathrm{mis}} = x_{1}x_{2}\bigl[-1{,}026 + 0{,}220\,(x_{1}-x_{2})\bigr]\quad(\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol})
e fornece os volumes molares puros
v_{1}=58{,}63\;\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol},\quad v_{2}=118{,}46\;\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.
Pede-se (a) o volume real da mistura e o volume ideal ao misturar 750, \mathrm{cm}^3 de 1 puro com 1500, \mathrm{cm}^3 de 2 puro e (b) o volume molar parcial \bar V_1. Para isso vamos:
  1. calcular n_1,n_2 e x_1,x_2;
  2. achar \Delta v_{\mathrm{mis}} e multiplicar pelo total de mols;
  3. comparar com volume ideal;
  4. usar a expressão de V_m e sua derivada para \bar V_1.

Passo 2

Calculemos os mols de cada componente:
n_1 = \frac{750}{58{,}63}=12{,}79\;\mathrm{mol}, \qquad n_2 = \frac{1500}{118{,}46}=12{,}66\;\mathrm{mol}.
Total n = n_1 + n_2 = 25{,}45\;\mathrm{mol}.
As frações molares são
x_1 = \frac{n_1}{n}=0{,}503,\quad x_2=1-x_1=0{,}497.

Passo 3

A variação de volume de mistura por mol de mistura é
\Delta v_{\mathrm{mis}} = x_1x_2\bigl[-1{,}026 + 0{,}220\,(x_1-x_2)\bigr] =0{,}503\cdot0{,}497\bigl[-1{,}026+0{,}220\,(0{,}006)\bigr] \approx -0{,}2562\;\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.
O total de variação é
\Delta V_{\mathrm{mis,total}} = n\,\Delta v_{\mathrm{mis}} =25{,}45\cdot(-0{,}2562) \approx -6{,}52\;\mathrm{cm}^3.

Passo 4

O volume ideal (solução sem excesso) é simplesmente
V_{\mathrm{ideal}} = n_1\,v_1 + n_2\,v_2 =750 + 1500 =2250\;\mathrm{cm}^3.
O volume real da mistura é
V_{\mathrm{real}} = V_{\mathrm{ideal}} + \Delta V_{\mathrm{mis,total}} =2250 -6{,}52 \approx2243{,}48\;\mathrm{cm}^3.

Passo 5

Para estimar \bar V_1, usamos que o volume molar de mistura é
V_m = x_1v_1 + x_2v_2 + \Delta v_{\mathrm{mis}},
e a relação binária
\bar V_1 = V_m + x_2\frac{dV_m}{dx_1}.
Note que
\frac{dV_m}{dx_1} = v_1 - v_2 + \frac{d\,\Delta v_{\mathrm{mis}}}{dx_1}.

Passo 6

Expressamos \Delta v_{\mathrm{mis}}(x_1) em função de x_1 (lembre x_2=1-x_1) e derivamos. O resultado analítico pode ser simplificado, mas para x_1=0{,}503 obtemos
\frac{d\,\Delta v_{\mathrm{mis}}}{dx_1}\approx +0{,}116\;\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.
Logo
\frac{dV_m}{dx_1} =58{,}63 -118{,}46 +0{,}116 \approx -59{,}714\;\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.

Passo 7

Calculemos V_m e depois \bar V_1:
V_m =0{,}503\cdot58{,}63 +0{,}497\cdot118{,}46 -0{,}2562 \approx88{,}131\;\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.
\bar V_1 =V_m + x_2\;\frac{dV_m}{dx_1} =88{,}131 +0{,}497\;(-59{,}714) \approx58{,}44\;\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}.

Resposta

Volume ideal da mistura: 2250\;\mathrm{cm}^3
Volume real da mistura: 2243{,}5\;\mathrm{cm}^3 (aprox.)
Volume molar parcial de 1: \displaystyle \bar V_1\approx58{,}44\;\mathrm{cm}^3/\mathrm{mol}

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