80 \mathrm{kmol} / \mathrm{h} de vapor de água são comprimidos de 30 até 100 kPa em um compressor, em estado estacionário. Na entrada do compressor a temperatura é de 350^{\circ} \mathrm{C} e a velocidade é de 15 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, já após o compressor o ar se encontra a 600^{\circ} \mathrm{C} e sua velocidade é de 200 \mathrm{m} / \mathrm{s}. Sabendo-se que nesse processo ocorre a perda de 50 kW de calor para a vizinhança, determine a potência requerida pelo processo. Imagine que esse compressor tenha uma eficiência de 80 \% e determine qual seria a quantidade de potência requerida num processo ideal.

Passo 1

O enunciado descreve um escoamento estacionário de vapor de água em um compressor: chega com pressão de 30\:\mathrm{kPa}, temperatura de 350^\circ\mathrm{C} e velocidade de 15\:\mathrm{m/s}; sai a 100\:\mathrm{kPa}, 600^\circ\mathrm{C} e 200\:\mathrm{m/s}. Há uma perda de calor de 50\:\mathrm{kW} para a vizinhança. O conteúdo principal é a aplicação da 1.ª lei da termodinâmica para sistemas abertos (balanço de energia), considerando entalpia e energia cinética, e depois usar a definição de eficiência do compressor.

Passo 2

Convertemos a vazão molar em vazão mássica. A água tem massa molar 18\:\mathrm{kg/kmol}, logo
\dot n = 80\:\mathrm{kmol/h}\;\Longrightarrow\;\dot m = 80\:\frac{\mathrm{kmol}}{\mathrm h}\times 18\:\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{kmol}} = 1440\:\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm h} = \frac{1440}{3600}\:\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm s} = 0{,}4\:\mathrm{kg/s}.

Passo 3

Escrevemos o balanço de energia, adotando a convenção de sinais em que W é potência fornecida ao fluido (positiva no compressor) e Q positiva quando entra no fluido. Em regime estacionário, desprezando variação de energia potencial, temos
\dot m\bigl(h_2 - h_1\bigr) + \dot m\bigl(\tfrac{v_2^2 - v_1^2}{2}\bigr) + \dot Q = \dot W.
Como perde 50\:\mathrm{kW}, \dot Q = -50\:\mathrm{kW}.

Passo 4

Para o vapor usamos c_p\approx1{,}86\:\mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e temperaturas em Kelvin:
T_1 = 350+273 = 623\:\mathrm K,\quad T_2 = 600+273 = 873\:\mathrm K.
A variação de entalpia é
\Delta h = c_p\,(T_2 - T_1) =1{,}86\;\bigl(873-623\bigr) =1{,}86\times250 =465\:\mathrm{kJ/kg}.
A variação de energia cinética por massa é
\Delta ke = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2} =\frac{200^2 - 15^2}{2} =\frac{40000 - 225}{2} =19{,}8875\:\mathrm{kJ/kg}.

Passo 5

Substituindo no balanço e multiplicando pela vazão mássica:
\dot W = \dot m\bigl(\Delta h + \Delta ke\bigr) - \dot Q =0{,}4\;(465+19{,}8875) -(-50)
=0{,}4\times484{,}8875 +50 \approx193{,}955 +50 \approx243{,}955\:\mathrm{kW}.
Arredondando, a potência requerida pelo compressor é de aproximadamente 244\:\mathrm{kW}.

Passo 6

Definindo a eficiência do compressor como
\eta_c = \frac{W_{\rm ideal}}{W_{\rm real}} = 0{,}80,
temos
W_{\rm ideal} = \eta_c\,W_{\rm real} =0{,}80\times244 =195{,}2\:\mathrm{kW}.

Resposta

Potência requerida no processo real: aproximadamente 244\:\mathrm{kW}.
Potência requerida no processo ideal (80 % de eficiência): aproximadamente 195\:\mathrm{kW}.

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