Um vaso rígido, com
de volume, contém um gás ideal, C v
, a 500 K e 1 bar.
(a) Se uma quantidade de calor igual a 15.000 J for transferida para o gás, determine a sua variação de entropia.
(b) Se o vaso possuir um agitador que gire acionado por um eixo de tal forma que seja realizada uma quantidade de trabalho de 15000 J sobre o gás, qual é a variação da entropia do gás se o processo for adiabático? Qual é o
? Qual é o fator de irreversibilidade do processo?
(a) Se uma quantidade de calor igual a 15.000 J for transferida para o gás, determine a sua variação de entropia.
(b) Se o vaso possuir um agitador que gire acionado por um eixo de tal forma que seja realizada uma quantidade de trabalho de 15000 J sobre o gás, qual é a variação da entropia do gás se o processo for adiabático? Qual é o
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados:
Para a parte (b) temos adicionalmente trabalho realizado sobre o gás por um agitador
e o processo é adiabático (
).
Perguntas:
(a) Se forem transferidos ao gás (no vaso rígido), qual é a variação de entropia do gás?
(b) Se, em vez de calor, for realizado trabalho de sobre o gás por um agitador (processo adiabático): (i) qual é a variação de entropia do gás? (ii) qual é
? (iii) qual é o fator de irreversibilidade do processo?
(a) Se
(b) Se, em vez de calor, for realizado trabalho de
Passo 2
Primeiro vamos calcular a quantidade de matéria
do gás (precisamos dela para relacionar energia e temperatura). Usamos a equação dos gases ideais:
Aqui
é a pressão,
o volume,
a constante universal dos gases, e
a temperatura absoluta. Portanto
Calculemos passo a passo:
Logo
Passo 3
Lembrete teórico (passo-a-passo do porquê da fórmula de entropia que vamos usar).
- A variação de entropia entre dois estados é uma função de estado, e pode ser calculada por qualquer processo reversível que leve do estado inicial ao final.
- Para um gás ideal, a variação de entropia quando a capacidade calorífica molar a volume constante é
é dada por
- Em um processo reversível a volume constante,
. Substituindo na integral:
Assim, para calcular
precisamos de
.
Passo 4
Parte (a) — encontrar
e
quando se fornece
ao gás num vaso rígido.
Em um vaso rígido o trabalho de pressão-volume é zero (
). Para um sistema fechado a primeira lei dá
Aqui só há variação de energia interna por aquecimento, e como
e não há outras formas de trabalho, temos
Para um gás ideal
. Logo
Calculamos
numérico:
.
Então
Então
Observação simpática: o produto
ficou praticamente
, o que facilita contas de cabeça.
Portanto
Portanto
Assim
Agora calculamos a variação de entropia usando a fórmula do Passo 3:
Usando
,
Interpretação rápida: mesmo que o processo real de aquecimento possa ser irreversível, a entropia do gás depende só dos estados inicial e final; por isso usamos a integração reversível de referência.
Passo 5
Parte (b) — agitador realiza trabalho de
sobre o gás, processo adiabático (
). Queremos (i)
, (ii)
, (iii) fator de irreversibilidade.
(i) Primeiro, energia interna: agora
. Então matematicamente a mudança de energia interna é a mesma do caso (a), portanto a variação de temperatura é igual:
logo
novamente. Como entropia é função de estado, a variação de entropia entre os mesmos estados inicial e final é a mesma que no item (a):
Comentário didático: embora o processo real (agitação) seja tipicamente irreversível — há dissipação interna convertendo trabalho mecânico em energia térmica — a variação de entropia do sistema entre os dois estados é calculada via uma rota reversível de referência e dá o mesmo valor.
Passo 6
Cálculo de
e do “fator de irreversibilidade”.
- Entropia total do universo (sistema + vizinhança) varia como
No processo adiabático temos
, portanto a vizinhança não troca calor com o sistema e
Logo
Fisicamente isto significa que toda a variação de entropia é gerada internamente (produção de entropia) devido à irreversibilidade da agitação:
.
-
Sobre o “fator de irreversibilidade”: a expressão é ambígua porque diferentes autores usam termos ligeiramente diferentes. Vou dar as interpretações mais comuns e os valores correspondentes, para você escolher o que seu professor quer:
- Se por “fator de irreversibilidade” entenderem simplesmente a geração de entropia (medida direta da irreversibilidade em J/K), então o fator é
- Se quiserem a irreversibilidade em unidades de energia (perda exergética, trabalho “desperdiçado”), usa-se
ondeé a temperatura de referência do reservatório ambiente (em K). O enunciado não fornece , portanto não dá para numericamente calcular — podemos apenas escrever Se seu professor queria um número e tem em mente(por exemplo ), aí substituiríamos e obteríamos um valor numérico. - Se por “fator de irreversibilidade” entenderem uma razão adimensional comparando entropia total gerada com alguma referência (por exemplo
), nesse caso específico a razão é porque (visto que ).
Concluindo: a medida direta e inquestionável da irreversibilidade aqui é a geração de entropia
. A conversão disso em energia exige
que não foi fornecido.
Resposta
(a)
(b)
Fator de irreversibilidade (geração de entropia): .
Fator de irreversibilidade (energia perdida, se desejado): (não dá para avaliar numericamente porque
não foi fornecido).
Fator de irreversibilidade (geração de entropia):
Fator de irreversibilidade (energia perdida, se desejado):