Um vaso rígido, com 0,06 \mathrm{~m}^{3} de volume, contém um gás ideal, C v =(5 / 2) \mathrm{R}, a 500 K e 1 bar.
(a) Se uma quantidade de calor igual a 15.000 J for transferida para o gás, determine a sua variação de entropia.
(b) Se o vaso possuir um agitador que gire acionado por um eixo de tal forma que seja realizada uma quantidade de trabalho de 15000 J sobre o gás, qual é a variação da entropia do gás se o processo for adiabático? Qual é o \Delta \mathrm{S}_{\text {Total }} ? Qual é o fator de irreversibilidade do processo?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e faz estas perguntas.
Dados:
V=0{,}06\\ \mathrm{m}^3,\qquad p_1=1\\ \text{bar}=1{,}0\times10^5\\ \mathrm{Pa},\qquad T_1=500\\ \mathrm{K},
C_v=\frac{5}{2}R,\qquad Q_{\text{(a)}}=15\,000\\ \mathrm{J}.
Para a parte (b) temos adicionalmente trabalho realizado sobre o gás por um agitador
W_{\text{on}}=15\,000\\ \mathrm{J},
e o processo é adiabático ( Q=0).
Perguntas:
(a) Se 15\,000\\ \mathrm{J} forem transferidos ao gás (no vaso rígido), qual é a variação de entropia do gás?
(b) Se, em vez de calor, for realizado trabalho de 15\,000\\ \mathrm{J} sobre o gás por um agitador (processo adiabático): (i) qual é a variação de entropia do gás? (ii) qual é \Delta S_{\text{Total}}? (iii) qual é o fator de irreversibilidade do processo?

Passo 2

Primeiro vamos calcular a quantidade de matéria n do gás (precisamos dela para relacionar energia e temperatura). Usamos a equação dos gases ideais:
pV=nRT.
Aqui p é a pressão, V o volume, R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)} a constante universal dos gases, e T a temperatura absoluta. Portanto
n=\frac{pV}{RT}=\frac{(1{,}0\times10^5)\cdot0{,}06}{8{,}314\cdot500}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador}=1{,}0\times10^5\times0{,}06=6{,}0\times10^3\\ \mathrm{Pa\cdot m^3}=6000\\ \mathrm{J},
\text{denominador}=8{,}314\times500=4157\\ \mathrm{J/K}.
Logo
n=\frac{6000}{4157}\approx1{,}443\\ \text{mol}.

Passo 3

Lembrete teórico (passo-a-passo do porquê da fórmula de entropia que vamos usar).
  • A variação de entropia entre dois estados é uma função de estado, e pode ser calculada por qualquer processo reversível que leve do estado inicial ao final.
  • Para um gás ideal, a variação de entropia quando a capacidade calorífica molar a volume constante é C_v é dada por
\Delta S = \int_{T_1}^{T_2}\frac{\delta Q_{\text{rev}}}{T}.
  • Em um processo reversível a volume constante, \delta Q_{\text{rev}}=nC_v\,dT. Substituindo na integral:
\Delta S = nC_v\int_{T_1}^{T_2}\frac{dT}{T}=nC_v\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right).
Assim, para calcular \Delta S precisamos de T_2.

Passo 4

Parte (a) — encontrar T_2 e \Delta S quando se fornece Q=15\,000\\ \mathrm{J} ao gás num vaso rígido.
Em um vaso rígido o trabalho de pressão-volume é zero ( W_{pV}=0). Para um sistema fechado a primeira lei dá
\Delta U = Q + W.
Aqui só há variação de energia interna por aquecimento, e como W_{pV}=0 e não há outras formas de trabalho, temos
\Delta U = Q.
Para um gás ideal \Delta U = nC_v\Delta T. Logo
nC_v\Delta T = Q \quad\Rightarrow\quad \Delta T=\frac{Q}{nC_v}.
Calculamos C_v numérico: C_v=\frac{5}{2}R=\tfrac{5}{2}\cdot8{,}314=20{,}785\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Então
nC_v\approx1{,}443\times20{,}785\approx30{,}00\\ \mathrm{J/K}.
Observação simpática: o produto nC_v ficou praticamente 30\\ \mathrm{J/K}, o que facilita contas de cabeça.
Portanto
\Delta T=\frac{15\,000}{30{,}00}=500\\ \mathrm{K}.
Assim
T_2=T_1+\Delta T=500+500=1000\\ \mathrm{K}.
Agora calculamos a variação de entropia usando a fórmula do Passo 3:
\Delta S_{\text{gás}}=nC_v\ln\!\left(\frac{T_2}{T_1}\right)=30{,}00\cdot\ln\!\left(\frac{1000}{500}\right)=30{,}00\cdot\ln(2).á
Usando \ln(2)\approx0{,}693147,
\Delta S_{\text{gás}}\approx30{,}00\times0{,}693147\approx20{,}79\\ \mathrm{J/K}.á
Interpretação rápida: mesmo que o processo real de aquecimento possa ser irreversível, a entropia do gás depende só dos estados inicial e final; por isso usamos a integração reversível de referência.

Passo 5

Parte (b) — agitador realiza trabalho de 15\,000\\ \mathrm{J} sobre o gás, processo adiabático ( Q=0). Queremos (i) \Delta S_{\text{gás}}á, (ii) \Delta S_{\text{Total}}, (iii) fator de irreversibilidade.
(i) Primeiro, energia interna: agora \Delta U = Q + W = 0 + W_{\text{on}} = 15\,000\\ \mathrm{J}. Então matematicamente a mudança de energia interna é a mesma do caso (a), portanto a variação de temperatura é igual:
\Delta T=\frac{\Delta U}{nC_v}=\frac{15\,000}{30{,}00}=500\\ \mathrm{K},
logo T_2=1000\\ \mathrm{K} novamente. Como entropia é função de estado, a variação de entropia entre os mesmos estados inicial e final é a mesma que no item (a):
\Delta S_{\text{gás}}=nC_v\ln\!\left(\frac{1000}{500}\right)\approx20{,}79\\ \mathrm{J/K}.á
Comentário didático: embora o processo real (agitação) seja tipicamente irreversível — há dissipação interna convertendo trabalho mecânico em energia térmica — a variação de entropia do sistema entre os dois estados é calculada via uma rota reversível de referência e dá o mesmo valor.

Passo 6

Cálculo de \Delta S_{\text{Total}} e do “fator de irreversibilidade”.
  • Entropia total do universo (sistema + vizinhança) varia como
\Delta S_{\text{Total}}=\Delta S_{\text{sistema}}+\Delta S_{\text{vizinhança}}.ç
No processo adiabático temos Q=0, portanto a vizinhança não troca calor com o sistema e
\Delta S_{\text{vizinhança}}=0.ç
Logo
\Delta S_{\text{Total}}=\Delta S_{\text{sistema}}=20{,}79\\ \mathrm{J/K}.
Fisicamente isto significa que toda a variação de entropia é gerada internamente (produção de entropia) devido à irreversibilidade da agitação: S_{\text{ger}}=\Delta S_{\text{Total}}=20{,}79\\ \mathrm{J/K}.
  • Sobre o “fator de irreversibilidade”: a expressão é ambígua porque diferentes autores usam termos ligeiramente diferentes. Vou dar as interpretações mais comuns e os valores correspondentes, para você escolher o que seu professor quer:
    1. Se por “fator de irreversibilidade” entenderem simplesmente a geração de entropia (medida direta da irreversibilidade em J/K), então o fator é
    S_{\text{ger}}=\Delta S_{\text{Total}}=20{,}79\\ \mathrm{J/K}.
    1. Se quiserem a irreversibilidade em unidades de energia (perda exergética, trabalho “desperdiçado”), usa-se
    I_{\text{energia}}=T_0\,S_{\text{ger}},
    onde T_0 é a temperatura de referência do reservatório ambiente (em K). O enunciado não fornece T_0, portanto não dá para numericamente calcular I_{\text{energia}} — podemos apenas escrever
    I_{\text{energia}}=T_0\cdot20{,}79\\ \mathrm{J}.
    Se seu professor queria um número e tem em mente T_0 (por exemplo 300\\ \mathrm{K}), aí substituiríamos e obteríamos um valor numérico.
    1. Se por “fator de irreversibilidade” entenderem uma razão adimensional comparando entropia total gerada com alguma referência (por exemplo \Delta S_{\text{Total}}/\Delta S_{\text{sistema}}), nesse caso específico a razão é 1 porque \Delta S_{\text{Total}}=\Delta S_{\text{sistema}} (visto que \Delta S_{\text{vizinhança}}=0ç).
Concluindo: a medida direta e inquestionável da irreversibilidade aqui é a geração de entropia S_{\text{ger}}=20{,}79\\ \mathrm{J/K}. A conversão disso em energia exige T_0 que não foi fornecido.

Resposta

(a) \Delta S_{\text{gás}}=20{,}79\\ \mathrm{J/K}á
(b) \Delta S_{\text{gás}}=20{,}79\\ \mathrm{J/K}á
\Delta S_{\text{Total}}=20{,}79\\ \mathrm{J/K}
Fator de irreversibilidade (geração de entropia): \Delta S_{\text{ger}}=20{,}79\\ \mathrm{J/K}.
Fator de irreversibilidade (energia perdida, se desejado): I_{\text{energia}}=T_0\cdot20{,}79\\ \mathrm{J} (não dá para avaliar numericamente porque T_0 não foi fornecido).

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