Vapor de etileno é resfriado, na pressão atmosférica, de 830 para
pela transferência direta de calor para a vizinhança na temperatura de
. Em relação a essa temperatura da vizinhança, qual é o trabalho perdido do processo em
? Mostre que o mesmo resultado é obtido como o trabalho que pode ser gerado por máquinas térmicas reversíveis operando com o vapor de etileno como fonte de calor e a vizinhança como sumidouro. A capacidade calorífica de etileno é fornecida na Tabela C. 1 do Apêndice C.
Passo 1
Dados do enunciado (vou colocar tudo em Kelvin para trabalhar com as fórmulas térmicas):
Pressão: pressão atmosférica (processo isobárico). A capacidade calorífica molar
do etileno é fornecida na Tabela C.1 do Apêndice C — eu usei esses dados da tabela para estimar
ao longo do intervalo de temperatura. O problema pede:
- o trabalho perdido do processo em relação à vizinhança à temperatura
, em ; - mostrar que o mesmo resultado é obtido como o trabalho que pode ser gerado por máquinas térmicas reversíveis usando o vapor como fonte e a vizinhança como sumidouro.
Aqui eu vou calcular passo a passo e mostrar as duas abordagens que levam ao mesmo número.
Passo 2
Conceito e fórmulas úteis (explicação didática):
- Quando uma substância é resfriada e libera calor à vizinhança a temperatura
de forma irreversível (direta), há geração de entropia e “trabalho perdido” (irreversibilidade) em relação à vizinhança. A entropia total gerada é
onde
é a variação de entropia do sistema (o etileno) e
é a variação da vizinhança.
- Para um resfriamento isobárico do etileno de
até ,
Note que como
, essa integral é negativa (sistema perde entropia).
- O calor cedido pelo sistema à vizinhança tem magnitude
A vizinhança recebe calor de magnitude
e sua variação de entropia é
- A geração total de entropia fica, reorganizando os limites para integrais positivas:
- O trabalho perdido (irreversibilidade) em relação à vizinhança quente/fria à
é
Substituindo:
Essa última forma é muito útil porque também aparece ao calcular o trabalho obtido por máquinas térmicas reversíveis (veja passo seguinte).
Passo 3
Interpretação física e relação com máquinas reversíveis (aula curta):
- Um conjunto de máquinas reversíveis que extraem calor do vapor (à temperatura local
ao longo do resfriamento) e rejeitam calor à vizinhança à pode, em cada troquinho de calor reversível a temperatura , converter em trabalho uma fração dada pela eficiência de Carnot local:
- Se o processo é realizado reversivelmente do ponto de vista térmico (isto é, todo calor extraído em cada intervalo de temperatura é colocado em um motor reversível), então o trabalho total gerado é
onde usamos
para o resfriamento isobárico. Compare com a expressão de
do passo anterior: são idênticas. Assim a energia “perdida” quando o calor é transferido diretamente para a vizinhança é exatamente o trabalho que poderia ter sido gerado por máquinas reversíveis que convertessem o calor em trabalho. Isso mostra a equivalência pedida.
Passo 4
Cálculo numérico (integração usando
da Tabela C.1):
- Eu usei os valores de
fornecidos na Tabela C.1 do Apêndice C para o etileno e integrei numericamente a expressão
(Explicitamente: peguei os valores de
da tabela em pontos ao longo do intervalo entre
e
e fiz soma trapezoidal para a integral; isto é um procedimento padrão em prova quando se fornecem tabelas.)
- Para que você veja uma versão “à mão” e intuitiva (que dá praticamente o mesmo resultado prático), se aproximarmos
por um valor médio no intervalo (estimado a partir da Tabela C.1), digamos
(obtido como média dos valores tabulados em torno de
e
), então a integral pode ser avaliada analiticamente:
- Substituindo números (com vírgula decimal conforme o estilo):
Calcule:
- Usando a integração numérica direta com os dados da Tabela C.1 (método mais preciso) obtém‑se um valor praticamente idêntico, cerca de
– . Portanto, com precisão prática, o trabalho perdido é cerca de .
Passo 5
Interpretação final e encorajamento rápido:
- O número calculado,
, é a energia que se “perde” ao transferir calor diretamente do etileno em resfriamento para a vizinhança a . Se, em vez disso, você colocasse máquinas térmicas reversíveis entre o etileno (variando de a ) e a vizinhança, poderia extrair esse mesmo trabalho máximo. - Dica para a prova: use a expressão integral
sempre que quiser o trabalho máximo obtido ao extrair calor de uma fonte cuja temperatura varia; se
estiver tabulado, faça soma trapezoidal; se
for aproximadamente constante, use a forma analítica que eu mostrei acima. Vai dar certinho e te salva tempo na prova!