Um ventilador deve acelerar ar parado até a velocidade de 28,8 \mathrm{~km} / \mathrm{h} a uma taxa de 9 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{s}. Considere a densidade do ar de 1,18 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.
a) Determine o fluxo de massa.
b) Determine a potência de eixo mínima.
c) Considerando que o motor elétrico possui uma eficiência de 95%, determine a potência elétrica mínima de entrada.

Passo 1

O enunciado nos dá um ventilador que suga ar em repouso e o acelera até a velocidade de \,28{,}8\\ \mathrm{km/h}\, com uma vazão volumétrica de \,9\\ \mathrm{m^3/s}\,. A densidade do ar é \,\rho = 1{,}18\\ \mathrm{kg/m^3}\,. Precisamos (a) calcular a vazão mássica \dot m, (b) a potência de eixo mínima para conferir essa energia cinética ao ar e (c) a potência elétrica mínima de entrada considerando eficiência do motor \eta = 95\%. Para isso usaremos as fórmulas
\dot m = \rho\,Q,
P_{\mathrm{eixo}} = \dot m\,\frac{v^2}{2},
P_{\mathrm{el}} = \frac{P_{\mathrm{eixo}}}{\eta}.

Passo 2

Primeiro convertemos a velocidade para o SI:
v = \frac{28{,}8\\ \mathrm{km/h}}{3{,}6} = 8\\ \mathrm{m/s}.
Em seguida, a vazão mássica é
\dot m = \rho\,Q = 1{,}18\\ \mathrm{kg/m^3}\times 9\\ \mathrm{m^3/s} = 10{,}62\\ \mathrm{kg/s}.

Passo 3

A potência de eixo mínima é a taxa de variação de energia cinética do ar, dada por
P_{\mathrm{eixo}} = \dot m\,\frac{v^2}{2} = 10{,}62\\ \mathrm{kg/s}\times \frac{(8\\ \mathrm{m/s})^2}{2} = 10{,}62\times 32\\ \mathrm{W} = 339{,}84\\ \mathrm{W}\approx 340\\ \mathrm{W}.

Passo 4

Considerando eficiência do motor de \eta = 0{,}95, a potência elétrica mínima de entrada é
P_{\mathrm{el}} = \frac{P_{\mathrm{eixo}}}{\eta} = \frac{339{,}84\\ \mathrm{W}}{0{,}95} = 357{,}73\\ \mathrm{W}\approx 358\\ \mathrm{W}.

Resposta

(a) \dot m = 10{,}62\\ \mathrm{kg/s}.
(b) P_{\mathrm{eixo}} \approx 340\\ \mathrm{W}.
(c) P_{\mathrm{el}} \approx 358\\ \mathrm{W}.

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