Espécies puras 2 e 3 são imiscíveis um em outro. A espécie líquida 1 é solúvel tanto em 2 quanto em 3 . Um mol de cada líquido ( 1,2 e 3 ) são misturados juntos para formar uma mistura em equilíbrio que consiste em duas fases: uma fase \alpha que contém as espécies
1 e 2, e uma fase \beta que contém as espécies 1 e 3. Quais são as frações da espécie 1 nas fases \alpha \mathrm{e} \beta, se, na temperatura do experimento, a energia de Gibbs de excesso das fases são definidas como:
\frac{\left(G^{E}\right)^{\alpha}}{R T}=0.4 x_{1}^{\alpha} x_{2}^{\alpha} \quad \text { and } \quad \frac{\left(G^{E}\right)^{\beta}}{R T}=0.8 x_{1}^{\beta} x_{3}^{\beta}

Passo 1

O enunciado trata de um sistema ternário em que as espécies 2 e 3 são imiscíveis, enquanto a espécie 1 se distribui entre duas fases em equilíbrio:
– Fase α contendo 1 e 2, com frações molares x_{1}^{\alpha},x_{2}^{\alpha}.
– Fase β contendo 1 e 3, com frações molares x_{1}^{\beta},x_{3}^{\beta}.
Misturou-se 1 mol de cada espécie e, no equilíbrio, há dois requisitos principais:
  1. Balanço de massa para cada componente.
  2. Igualdade dos potenciais químicos de 1 em α e β, usando os G^{E} fornecidos:
\frac{\bigl(G^{E}\bigr)^{\alpha}}{RT}=0.4\,x_{1}^{\alpha}x_{2}^{\alpha}, \quad \frac{\bigl(G^{E}\bigr)^{\beta}}{RT}=0.8\,x_{1}^{\beta}x_{3}^{\beta}.

Passo 2

Definimos
a = x_{1}^{\alpha},\quad x_{2}^{\alpha}=1-a, \quad b = x_{1}^{\beta},\quad x_{3}^{\beta}=1-b.
Como foram misturados 1 mol de 2 e 1 mol de 3 e essas vão integralmente para as fases α e β, respectivamente, temos
N^{\alpha}x_{2}^{\alpha}=1\quad\Rightarrow\quad N^{\alpha}=\frac1{1-a}, \qquad N^{\beta}x_{3}^{\beta}=1\quad\Rightarrow\quad N^{\beta}=\frac1{1-b},
onde N^{\alpha},N^{\beta} são os totais molares de α e β. A massa de 1 distribui-se de modo que
N^{\alpha}a+N^{\beta}b=1
ou seja
\frac{a}{1-a}+\frac{b}{1-b}=1.
Desenvolvendo e limpando denominadores chega-se a
2a+2b-3ab=1. \tag{1}

Passo 3

Para igualdade de potencial químico de 1 em α e β, escrevemos
\mu_{1}^{\varphi}= \mu_{1}^{\varphi,\text{id}}+\mu_{1}^{\varphi,E},
onde
\frac{\mu_{1}^{\varphi,\text{id}}}{RT} = \ln x_{1}^{\varphi}, \qquad \frac{\mu_{1}^{\varphi,E}}{RT} = g^{E}_{\varphi}+(1-x_{1}^{\varphi})\frac{\partial g^{E}_{\varphi}}{\partial x_{1}^{\varphi}},
com g^{E}_{\alpha}=0.4\,x_{1}^{\alpha}x_{2}^{\alpha} e g^{E}_{\beta}=0.8\,x_{1}^{\beta}x_{3}^{\beta}. Calcula-se
\frac{\mu_{1}^{\alpha,E}}{RT}=0.4\,(x_{2}^{\alpha})^{2}, \qquad \frac{\mu_{1}^{\beta,E}}{RT}=0.8\,(x_{3}^{\beta})^{2}.
Portanto, a condição \mu_{1}^{\alpha}=\mu_{1}^{\beta} vira
\ln a + 0.4\,(1-a)^{2} = \ln b + 0.8\,(1-b)^{2}. \tag{2}

Passo 4

As equações finais em a e b são
(1)\ \;2a+2b-3ab=1,
(2)\ \;\ln a - \ln b = 0.8\,(1-b)^{2} - 0.4\,(1-a)^{2}.
Da (1) expressamos
b = \frac{1-2a}{2-3a},
e substituímos em (2), obtendo uma única equação em a.

Passo 5

Resolve-se numericamente a equação acoplada (por bissecção ou tentativas), encontrando
a = x_{1}^{\alpha}\approx 0{,}371, \qquad b = x_{1}^{\beta}\approx 0{,}290.

Resposta

x_{1}^{\alpha}\approx0{,}37 x_{1}^{\beta}\approx0{,}29

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