Num sistema A / B / C uma liga ternária de composição 30 \%(m / m) de B e 30 \% de C consiste, à temperatura \mathrm{T}_{1}, nas seguintes 3 fases em equilíbrio:
  • Líquido com 50 \% de \mathrm{A}, 40 \% de B e 10 \% de C .
  • Solução sólida \alpha com 85 \% de \mathrm{A}, 10 \% de B e 5 \% de C .
  • Solução sólida \gamma com 10 \% de \mathrm{A}, 20 \% de B e 70 \% de C .
    a) Determine as proporções em massa do líquido, da fase \alpha \mathrm{e} \gamma desta liga.
    b) À temperatura \mathrm{T}_{1}, determine a composição da liga com proporções iguais das fases \alpha e \gamma, mas sem haver fase líquida.

Passo 1

O enunciado descreve uma liga ternária A/B/C cuja composição global é 40\% de A, 30\% de B e 30\% de C. À temperatura T_{1} coexistem três fases em equilíbrio com as seguintes composições em massa:
liquido L: 50\% de A, 40\% de B, 10\% de C;
sólida \alpha: 85\% de A, 10\% de B, 5\% de C;
sólida \gamma: 10\% de A, 20\% de B, 70\% de C.
Na parte (a) precisamos determinar as frações mássicas f_{L}, f_{\alpha} e f_{\gamma}. Na parte (b) vamos considerar uma liga sem fase líquida f_{L}=0 e com f_{\alpha}=f_{\gamma} para achar sua composição global.

Passo 2

Para (a) aplicamos balanços de massa nos componentes A e B (só dois são independentes) e a soma das frações:
f_{L}+f_{\alpha}+f_{\gamma}=1,
0{,}50\,f_{L}+0{,}85\,f_{\alpha}+0{,}10\,f_{\gamma}=0{,}40,
0{,}40\,f_{L}+0{,}10\,f_{\alpha}+0{,}20\,f_{\gamma}=0{,}30.

Passo 3

Da segunda equação isolamos f_{\alpha}:
0{,}10\,f_{\alpha}=0{,}30-0{,}40\,f_{L}-0{,}20\,f_{\gamma} \quad\Longrightarrow\quad f_{\alpha}=3-4\,f_{L}-2\,f_{\gamma}.
Da soma das frações,
f_{L}+(3-4\,f_{L}-2\,f_{\gamma})+f_{\gamma}=1 \quad\Longrightarrow\quad 3\,f_{L}+f_{\gamma}=2.
Substituindo em
0{,}50\,f_{L}+0{,}85\,f_{\alpha}+0{,}10\,f_{\gamma}=0{,}40
e usando f_{\alpha}=3-4\,f_{L}-2\,f_{\gamma}, chega-se a
2{,}9\,f_{L}+1{,}6\,f_{\gamma}=2{,}15.
Então resolvemos o sistema
\begin{cases} 3\,f_{L}+f_{\gamma}=2,\\\\ 2{,}9\,f_{L}+1{,}6\,f_{\gamma}=2{,}15, \end{cases}
obtendo
f_{L}\approx0{,}5526,\quad f_{\gamma}\approx0{,}3421,
e por fim
f_{\alpha}=1-f_{L}-f_{\gamma}\approx0{,}1053.

Passo 4

Convertendo em porcentagens:
liquido L: 55{,}26\%,
sólida \alpha: 10{,}53\%,
sólida \gamma: 34{,}21\%.

Passo 5

Para (b) temos f_{L}=0 e f_{\alpha}=f_{\gamma}=0{,}5. A composição global é a média simples das composições de \alpha e \gamma:
x_{A}=\frac{0{,}85+0{,}10}{2}=0{,}475,\quad x_{B}=\frac{0{,}10+0{,}20}{2}=0{,}15,\quad x_{C}=\frac{0{,}05+0{,}70}{2}=0{,}375.

Resposta

a) f_{L}\approx55{,}3\%, f_{\alpha}\approx10{,}5\%, f_{\gamma}\approx34{,}2\%.
b) A liga terá 47{,}5\% de A, 15\% de B e 37{,}5\% de C.

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