Verifique se os seguintes sistemas são invariantes no tempo:
\frac{d y(t)}{d t}+a y(t)+b=x(t)

Passo 1

O enunciado apresenta o sistema descrito pela equação
\frac{d y(t)}{d t} + a\,y(t) + b = x(t),
e pede para verificar se ele é invariante no tempo. Para isso, vamos usar a definição de invariância: se para toda entrada x(t) com resposta y(t) o sistema satisfaz
x_1(t)=x(t - t_0)\quad\Longrightarrow\quad y_1(t)=y(t - t_0),
então o sistema é invariante no tempo.

Passo 2

Seja x_1(t)=x(t - t_0) uma versão deslocada da entrada e seja y(t) a resposta do sistema à entrada x(t). Proponho como resposta ao sinal deslocado
y_1(t)=y(t - t_0).

Passo 3

Calculo a derivada de y_1(t):
\frac{d}{dt}\,y_1(t) =\frac{d}{dt}\bigl[y(t - t_0)\bigr] =\dot y(t - t_0).
Então, no lado esquerdo da equação do sistema com entrada x_1, tenho
\frac{d}{dt}y_1(t) + a\,y_1(t) + b =\dot y(t - t_0) + a\,y(t - t_0) + b.
Mas da equação original sabemos que para todo argumento \tau
\dot y(\tau)+a\,y(\tau)+b = x(\tau).
Substituindo \tau = t - t_0 vem
\dot y(t - t_0) + a\,y(t - t_0) + b = x(t - t_0) = x_1(t).
Logo y_1(t) satisfaz exatamente a equação do sistema com entrada x_1(t).

Passo 4

Vimos que a resposta ao sinal deslocado x_1(t)=x(t - t_0) é justamente y_1(t)=y(t - t_0). Isso mostra que o sistema satisfaz a definição de invariância no tempo.

Resposta

O sistema
\frac{d y(t)}{d t} + a\,y(t) + b = x(t)
é invariante no tempo.

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