Verifique a validade da relação de Maxwell abaixo para vapor d’água a 200^{\circ} \mathrm{C} e 300 kPa .
\left(\frac{\partial s}{\partial P}\right)_{T}=-\left(\frac{\partial v}{\partial T}\right)_{P}

Passo 1

O enunciado pede para verificar numericamente a relação de Maxwell
\Bigl(\frac{\partial s}{\partial P}\Bigr)_{T} \;=\; -\,\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P}
para vapor d’água em 200^\circ\text{C} e 300 kPa. O conteúdo usado é termodinâmica de gás ideal (aproximação razoável para vapor superaquecido nessas condições) e derivadas parciais de s e v.

Passo 2

Para vapor como gás ideal, a equação de estado é
v \;=\;\frac{R\,T}{P}
e a entropia pode ser escrita (relativa a uma pressão de referência P_{0}) como
s(T,P) \;=\; s^{\circ}(T)\;-\;R\,\ln\!\biggl(\frac{P}{P_{0}}\biggr).
Aqui R=0{,}4615\\ \mathrm{kJ/(kg\,K)} é a constante específica do vapor d’água.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle \bigl(\frac{\partial s}{\partial P}\bigr)_{T} a T constante:
a derivada de -R\ln(P/P_{0}) em relação a P
\Bigl(\frac{\partial s}{\partial P}\Bigr)_{T} \;=\; -\,R\,\frac{1}{P} \;=\; -\;\frac{R}{P}.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle \bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\bigr)_{P} a P constante:
da expressão v=RT/P, temos
\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P} \;=\; \frac{R}{P}.
Logo
-\,\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P} \;=\; -\;\frac{R}{P}.

Passo 5

Comparando os resultados:
\Bigl(\frac{\partial s}{\partial P}\Bigr)_{T} \;=\; -\;\frac{R}{P} \quad\text{e}\quad -\,\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P} \;=\; -\;\frac{R}{P},
logo ambos os lados coincidem exatamente, confirmando a validade da relação de Maxwell.

Passo 6

Avaliação numérica em T=200\,^\circ\mathrm{C} ( =473\,\mathrm{K}) e P=300\,\mathrm{kPa}:
-\,\frac{R}{P} \;=\; -\,\frac{0{,}4615}{300} \;=\; -\,0{,}001538\;\frac{\mathrm{kJ}}{\mathrm{kg\,K}\,\cdot\mathrm{kPa}} \quad\approx\; -1{,}538\times10^{-3}.
Ambos os lados têm esse mesmo valor.

Resposta

A relação de Maxwell
\Bigl(\frac{\partial s}{\partial P}\Bigr)_{T} = -\,\Bigl(\frac{\partial v}{\partial T}\Bigr)_{P}
é validada numericamente para vapor d’água a 200^\circ\text{C} e 300 kPa.

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