Um próton de massa m penetra um campo magnético uniforme \mathbf{B}=B_{\mathrm{o}} \mathbf{a}_{z} com uma velocidade inicial \alpha \mathbf{a}_{x}+\beta \mathbf{a}_{z}. (a) Encontre as equações diferenciais que o vetor posição \mathbf{r}=x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}+z \mathbf{a}_{z} deve satisfazer. (b) Demonstre que a solução dessas equações é:
x=\frac{\alpha}{\omega} \operatorname{sen} \omega t, \quad y=\frac{\alpha}{\omega} \cos \omega t, \quad z=\beta t
onde \omega=e B / m e e é a carga do próton. (c) Demonstre que essa solução descreve uma hélice circular no espaço.
Resposta: (a) \frac{d x}{d t}=\alpha \cos \omega t, \frac{d y}{d t}=-\alpha \operatorname{sen} \omega t, \frac{d z}{d t}=\beta, (b) e (c) a demonstração.

Passo 1

O enunciado trata da dinâmica de um próton (carga e, massa m) entrando num campo magnético uniforme \mathbf{B}=B_{0}\mathbf{a}_{z} com velocidade inicial
\mathbf{v}(0)=\alpha\,\mathbf{a}_{x}+\beta\,\mathbf{a}_{z}.
O conteúdo aqui é o uso da segunda lei de Newton com a força de Lorentz
m\frac{d^{2}\mathbf{r}}{dt^{2}}=e\,\frac{d\mathbf{r}}{dt}\times\mathbf{B}
para obter equações diferenciais em componentes, resolver essas EDOs e interpretar geometricamente a solução.

Passo 2

Escrevendo \mathbf{r}=x\,\mathbf{a}_{x}+y\,\mathbf{a}_{y}+z\,\mathbf{a}_{z} e \mathbf{v}=(\dot x,\dot y,\dot z), o produto vetorial é
\mathbf{v}\times\mathbf{B} =\begin{vmatrix} \mathbf{a}_{x}&\mathbf{a}_{y}&\mathbf{a}_{z}\\\ \dot x&\dot y&\dot z\\\\ 0&0&B_{0} \end{vmatrix} =B_{0}\,\bigl(\dot y\,\mathbf{a}_{x}-\dot x\,\mathbf{a}_{y}\bigr).
Logo, da lei m\ddot{\mathbf{r}}=e\,\mathbf{v}\times\mathbf{B} vêm as equações de segundo ordem
m\ddot x = eB_{0}\,\dot y,\quad m\ddot y = -eB_{0}\,\dot x,\quad m\ddot z = 0.
Definindo \omega=\dfrac{eB_{0}}{m}, temos
\ddot x = \omega\,\dot y, \quad \ddot y = -\omega\,\dot x, \quad \ddot z = 0.

Passo 3

Da última equação \ddot z=0 segue \dot z= constante =\beta (pela condição inicial) e
z(t)=\beta\,t+z(0).
Para x e y, formamos o sistema de primeiras derivadas
\dot v_x=\omega\,v_y, \quad \dot v_y=-\omega\,v_x, \quad v_x(0)=\alpha,\;v_y(0)=0,
onde v_x=\dot x, v_y=\dot y. Diferenciando a primeira,
\ddot v_x=-\omega^2v_x, cuja solução geral é
v_x(t)=A\cos\omega t + B\sin\omega t.
Pelas condições iniciais v_x(0)=\alpha\implies A=\alpha e \dot v_x(0)=\omega B=0\implies B=0. Portanto
\dot x=v_x=\alpha\cos\omega t, \quad \dot y=v_y=-\alpha\sin\omega t.

Passo 4

Integramos para obter x(t) e y(t). Tomando x(0)=0 e y(0)=\alpha/\omega para coincidir com a forma proposta,
x(t)=\int_{0}^{t}\alpha\cos\omega t'\,dt' =\frac{\alpha}{\omega}\sin\omega t,
y(t)=\int_{0}^{t}-\alpha\sin\omega t'\,dt' + \frac{\alpha}{\omega} =\frac{\alpha}{\omega}\cos\omega t.
Com z(0)=0 obtemos z(t)=\beta t. Assim aparece exatamente
x=\frac{\alpha}{\omega}\sin\omega t, \quad y=\frac{\alpha}{\omega}\cos\omega t, \quad z=\beta t.

Passo 5

Para ver que é uma hélice, notamos que no plano xy
x^{2}+y^{2} =\Bigl(\frac{\alpha}{\omega}\Bigr)^{2}\!\bigl(\sin^{2}\omega t+\cos^{2}\omega t\bigr) =\Bigl(\frac{\alpha}{\omega}\Bigr)^{2}
é constante, enquanto z cresce linearmente com t. Isso caracteriza uma hélice circular de raio \alpha/\omega.

Resposta

(a) As equações diferenciais são
\ddot x = \omega\,\dot y,\quad \ddot y = -\omega\,\dot x,\quad \ddot z = 0.
(b) Integrando com \dot x(0)=\alpha,\;\dot y(0)=0,\;\dot z(0)=\beta e x(0)=0,\;y(0)=\alpha/\omega,\;z(0)=0 obtém-se
x=\frac{\alpha}{\omega}\sin\omega t, \quad y=\frac{\alpha}{\omega}\cos\omega t, \quad z=\beta t.
(c) Como \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\alpha/\omega é constante e z varia linearmente, a trajetória é uma hélice circular de raio \alpha/\omega.

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