Você é o engenheiro de processos da fábrica e precisa retirar água de um lago e bombear para um tanque cuja superfície livre esta 30,0 \mathrm{~m} acima da superfície livre do lago a uma taxa de 50,0 \mathrm{~L} / \mathrm{s}. Você dispõe de uma bomba de água cuja potência elétrica é 10,0 \mathrm{~kW}. A bomba será capaz de realizar essa operação de bombeio?. Utilizar critérios razoáveis.
\begin{aligned} m 1 & =V 1^{*} A 1^{*} \rho 1=V 1^{*} A 1 / v 1 \\\ m 1 & =m / s^{*} m^{\wedge} 2 /\left(m^{\wedge} 3 / k g\right)=k g / s \\\ & =m^{\wedge} 3 / s /\left(m^{\wedge} 3 / k g\right) \end{aligned}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que precisa ser respondido.
  • Dados fornecidos:
    • Elevação (diferença de nível) entre lago e tanque: h=30{,}0\\ \mathrm{m}.
    • Vazão volumétrica que deve ser bombeada: Q=50{,}0\\ \mathrm{L/s}. (Converterei em \mathrm{m^3/s} adiante.)
    • Potência elétrica disponível da bomba (alimentação elétrica): P_{\text{elec,disp}}=10{,}0\\ \mathrm{kW}.
  • Dados físicos que usarei como valores razoáveis (não fornecidos no enunciado, mas convencionais para água):
    • Densidade da água: \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}.
    • Aceleração da gravidade: g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}.
  • O que o problema pede:
    • Determinar se a bomba (com P_{\text{elec,disp}}=10{,}0\\ \mathrm{kW}) será capaz de bombear a água na vazão dada até a altura h=30{,}0\\ \mathrm{m}.
  • Observação sobre hipóteses razoáveis (serão usadas nas contas):
    • Vou primeiro calcular a potência hidráulica mínima ideal necessária (isto é, ignorando perdas por atrito e perdas internas). Se já essa potência mínima for maior que 10{,}0\\ \mathrm{kW}, então com certeza a bomba não dá conta.
    • Depois mostro como incluir eficiência da bomba/ motor (fator \eta) para estimar a potência elétrica realmente necessária.

Passo 2

Converter unidades e calcular a vazão de massa: primeiro passar Q para \mathrm{m^3/s} e achar \dot m.
  • Conversão de vazão: Q = 50{,}0\\ \mathrm{L/s} = 50{,}0\times 10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} = 0{,}050\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Vazão mássica ( \dot m) relaciona-se com Q por: \dot m = \rho\,Q.Substituindo: \dot m = 1000\\ \mathrm{kg/m^3} \times 0{,}050\\ \mathrm{m^3/s} = 50{,}0\\ \mathrm{kg/s}.
Explicação didática: \dot m é quantos quilos de água são movidos por segundo; multiplicando a vazão volumétrica Q pela densidade \rho obtemos essa massa por segundo.

Passo 3

Derivar a potência hidráulica mínima ideal necessária para elevar a água à altura h.
  • Energia potencial por unidade de massa para elevar água por altura h é g\,h. Multiplicando pela vazão mássica \dot m obtemos potência (energia por segundo): P_{\text{hyd}} = \dot m\,g\,h.
  • Substituindo \dot m=\rho Q obtemos a forma prática: P_{\text{hyd}} = \rho\,g\,Q\,h.Explicação didática: essa expressão dá a potência mecânica mínima que a bomba precisa fornecer ao fluido para vencer a diferença de altura. As unidades conferem: \mathrm{kg/m^3}\cdot\mathrm{m/s^2}\cdot\mathrm{m^3/s}\cdot\mathrm{m}=\mathrm{kg\,m^2/s^3}=\mathrm{W}.

Passo 4

Calcular numericamente a potência hidráulica mínima.
Usando \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2}, Q=0{,}050\\ \mathrm{m^3/s} e h=30{,}0\\ \mathrm{m}:
P_{\text{hyd}} = 1000 \times 9{,}81 \times 0{,}050 \times 30{,}0\\ \mathrm{W}.
Calcule passo a passo:
9{,}81\times 0{,}050 = 0{,}4905,
0{,}4905\times 30{,}0 = 14{,}715,
1000\times 14{,}715 = 14\,715\\ \mathrm{W} = 14{,}715\\ \mathrm{kW}.
Verificação alternativa usando \dot m:
P_{\text{hyd}} = \dot m\,g\,h = 50{,}0\times 9{,}81\times 30{,}0 = 14\,715\\ \mathrm{W}.
Interpretação: mesmo no caso ideal (sem perdas), a potência hidráulica mínima necessária para elevar 50{,}0\\ \mathrm{L/s} a 30{,}0\\ \mathrm{m} é 14{,}715\\ \mathrm{kW}.

Passo 5

Incluir eficiência e comparar com a potência elétrica disponível.
  • Definição de eficiência: se \eta for a eficiência total (produto da eficiência do motor elétrico e da eficiência hidráulica da bomba), a relação entre potência elétrica fornecida P_{\text{elec}} e potência hidráulica entregue ao fluido é: P_{\text{elec}} = \frac{P_{\text{hyd}}}{\eta}.Explicação didática: parte da energia elétrica é perdida (aquecimento, perdas mecânicas, hidráulicas). Assim para obter P_{\text{hyd}} útil é preciso uma potência elétrica maior, proporcional a 1/\eta.
  • Mesmo no caso ideal \eta=1{,}00 (100% de eficiência), a potência elétrica necessária seria P_{\text{elec,req}} = \frac{14{,}715\\ \mathrm{kW}}{1{,}00} = 14{,}715\\ \mathrm{kW}.Comparando com a potência disponível: P_{\text{elec,disp}} = 10{,}0\\ \mathrm{kW} < 14{,}715\\ \mathrm{kW}.Conclusão parcial: mesmo no caso ideal, a potência elétrica disponível é insuficiente.
  • Para ter uma ideia com eficiências reais típicas: suponha eficiência combinada \eta=0{,}70 (valor razoável para bomba+motor). Então P_{\text{elec,req}} = \frac{14{,}715\\ \mathrm{kW}}{0{,}70} \approx 21{,}02\\ \mathrm{kW}.Se a eficiência fosse \eta=0{,}60 (pior caso), teria P_{\text{elec,req}} \approx \frac{14{,}715}{0{,}60} \approx 24{,}53\\ \mathrm{kW}.Em qualquer cenário realista a potência elétrica exigida é bem maior que 10{,}0\\ \mathrm{kW}.

Passo 6

Conclusão prática e sugestões rápidas.
  • Conclusão técnica: não — a bomba com potência elétrica disponível de 10{,}0\\ \mathrm{kW} não será capaz de bombear 50{,}0\\ \mathrm{L/s} até 30{,}0\\ \mathrm{m}, porque a potência hidráulica mínima necessária já é 14{,}715\\ \mathrm{kW}, superior à disponível.
  • Sugestões práticas para solucionar o problema (opções típicas em engenharia de processo):
    • Aumentar a potência elétrica disponível (usar bomba/motor maior) para pelo menos \sim 15{,}0\\ \mathrm{kW} em condições ideais; na prática escolher algo na faixa 20\text{–}25\\ \mathrm{kW} considerando eficiência e perdas de linha.
    • Reduzir a vazão requerida (por exemplo, operar com vazão menor ou trabalhar em bateladas).
    • Instalar uma série de bombas (bombeamento em estágios) ou usar bomba de maior pressão específica.
    • Reduzir perdas (tubulação mais curta, menos perdas de carga) ajuda, mas não muda o fato de que a potência mínima para elevar a massa de água até 30\\ \mathrm{m} é a calculada.

Resposta

Não. A potência hidráulica mínima exigida é 14{,}715\\ \mathrm{kW}, maior que a potência elétrica disponível 10{,}0\\ \mathrm{kW}; portanto a bomba não dará conta da operação.

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