Um volume de 20 ft3 de ar a
e
é submetido a um processo politrópico de expansão até uma pressão final de
. O processo segue a relação
constante. O trabalho envolvido é
Btu. Assumindo um comportamento ideal para o ar e desprezando efeitos de energia cinética e potencial, determine:
(b) o calor transferido, em Btu.
(b) o calor transferido, em Btu.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um volume de 20 pés cúbicos de ar a uma temperatura de
e uma pressão de
. Esse ar passa por um processo politrópico de expansão até a pressão final de
. A relação desse processo é
. Sabemos que o trabalho envolvido nesse processo é
Btu. Precisamos determinar o calor transferido, em Btu.
Pra resolver isso, vamos precisar usar a Primeira Lei da Termodinâmica, que relaciona calor, trabalho e variação de energia interna. Também vamos precisar entender um pouco sobre processos politrópicos e propriedades dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que é basicamente a conservação da energia aplicada aos sistemas termodinâmicos. A fórmula dela é:
Onde:
-
é o calor transferido para o sistema, -
é a variação da energia interna, -
é o trabalho realizado pelo sistema.
Nesse caso, o trabalho
já foi dado como
Btu. Agora, precisamos encontrar
, a variação da energia interna.
Passo 3
Para gases ideais, a variação da energia interna (
) depende da variação da temperatura e da capacidade calorífica a volume constante (
). A fórmula é:
Onde:
-
é a massa do gás, -
é a capacidade calorífica a volume constante, -
é a variação da temperatura.
Primeiro, precisamos encontrar a massa
do ar no sistema. Para isso, usamos a equação dos gases ideais:
Onde:
-
é a pressão, -
é o volume, -
é a constante específica dos gases, -
é a temperatura.
Vamos reorganizar para encontrar
:
Passo 4
Vamos inserir os valores conhecidos na equação para encontrar a massa do ar. Mas antes disso, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. Vamos converter as pressões de $ \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2 $ para pés-lbf/in² para manter as unidades compatíveis com o volume em pés cúbicos e temperatura em graus Rankine.
Sabemos que:
Então:
Agora, vamos usar a constante específica para o ar, que é aproximadamente $ R = 53,35 \ \mathrm{ft \cdot lbf/(lbm \cdot R)} $.
Portanto:
Passo 5
Agora que temos a massa do ar, vamos calcular a variação da temperatura
. Para isso, precisamos encontrar a temperatura final
após a expansão.
Em um processo politrópico, a relação entre temperaturas e pressões é dada por:
Onde:
-
, -
, -
, -
(o índice do processo politrópico).
Vamos calcular
:
Então:
Agora, a variação da temperatura é:
Passo 6
Agora que temos
, vamos calcular
:
Para o ar, a capacidade calorífica a volume constante (
) é aproximadamente
.
Então:
Passo 7
Agora que temos
e o trabalho
, podemos usar a Primeira Lei da Termodinâmica para encontrar o calor
:
Substituindo os valores:
Resposta
O calor transferido durante o processo é aproximadamente 65,64 Btu.