Um volume de 20 ft3 de ar a T=600^circ R e 100 lbf / in 2 é submetido a um processo politrópico de expansão até uma pressão final de 51,4 lbf / in 2. O processo segue a relação p V1,2= constante. O trabalho envolvido é W=194,34 Btu. Assumindo um comportamento ideal para o ar e desprezando efeitos de energia cinética e potencial, determine:
(b) o calor transferido, em Btu.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos um volume de 20 pés cúbicos de ar a uma temperatura de 600^circ R e uma pressão de 100 lbf/in^2. Esse ar passa por um processo politrópico de expansão até a pressão final de 51,4 lbf/in^2. A relação desse processo é p V^1,2 = constante. Sabemos que o trabalho envolvido nesse processo é W = 194,34 Btu. Precisamos determinar o calor transferido, em Btu.
Pra resolver isso, vamos precisar usar a Primeira Lei da Termodinâmica, que relaciona calor, trabalho e variação de energia interna. Também vamos precisar entender um pouco sobre processos politrópicos e propriedades dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a Primeira Lei da Termodinâmica, que é basicamente a conservação da energia aplicada aos sistemas termodinâmicos. A fórmula dela é:
Q = De
Onde:
  • Q é o calor transferido para o sistema,
  • De é a variação da energia interna,
  • W é o trabalho realizado pelo sistema.
Nesse caso, o trabalho W já foi dado como 194,34 Btu. Agora, precisamos encontrar De, a variação da energia interna.

Passo 3

Para gases ideais, a variação da energia interna ( De) depende da variação da temperatura e da capacidade calorífica a volume constante ( cv). A fórmula é:
De
Onde:
  • m é a massa do gás,
  • cv é a capacidade calorífica a volume constante,
  • De é a variação da temperatura.
Primeiro, precisamos encontrar a massa m do ar no sistema. Para isso, usamos a equação dos gases ideais:
p V = m R T
Onde:
  • p é a pressão,
  • V é o volume,
  • R é a constante específica dos gases,
  • T é a temperatura.
Vamos reorganizar para encontrar m:
m = p VR T

Passo 4

Vamos inserir os valores conhecidos na equação para encontrar a massa do ar. Mas antes disso, precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. Vamos converter as pressões de $ \mathrm{lbf}/\mathrm{in}^2 $ para pés-lbf/in² para manter as unidades compatíveis com o volume em pés cúbicos e temperatura em graus Rankine.
Sabemos que:
lbf/in^2
Então:
1 lbf/in^2 = 144 lbf/ft^2
Agora, vamos usar a constante específica para o ar, que é aproximadamente $ R = 53,35 \ \mathrm{ft \cdot lbf/(lbm \cdot R)} $.
Portanto:
P1 = 100 lbf/in^2 times 144 = 14400 lbf/ft^2

Passo 5

Agora que temos a massa do ar, vamos calcular a variação da temperatura De. Para isso, precisamos encontrar a temperatura final T2 após a expansão.
Em um processo politrópico, a relação entre temperaturas e pressões é dada por:
T2T1 = ( P2P1 )^n-1n
Onde:
  • T1 = 600^circ R,
  • P1 = 100 lbf/in^2,
  • P2 = 51,4 lbf/in^2,
  • n = 1,2 (o índice do processo politrópico).
Vamos calcular T2:
T2600 = ( 51,4100 )^1,2-11,2 = ( 0,514 )^0,21,2 approx 0,514^0,1667 approx 0,861
Então:
T2 = 600 times 0,861 approx 516,6^circ R
Agora, a variação da temperatura é:
De

Passo 6

Agora que temos De, vamos calcular De:
De
Para o ar, a capacidade calorífica a volume constante ( cv) é aproximadamente 0,171 Btu/(lbm cdot R).
Então:
De

Passo 7

Agora que temos De e o trabalho W, podemos usar a Primeira Lei da Termodinâmica para encontrar o calor Q:
Q = De
Substituindo os valores:
Q = (-128,7) + 194,34 approx 65,64 Btu

Resposta

O calor transferido durante o processo é aproximadamente 65,64 Btu.

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