Um volume de 20 ft3 de ar a T=600^circ R e 100 lbf / in 2 é submetido a um processo politrópico de expansão até uma pressão final de 51,4 lbf / in 2. O processo segue a relação p V1,2= constante. O trabalho envolvido é W=194,34 Btu. Assumindo um comportamento ideal para o ar e desprezando efeitos de energia cinética e potencial, determine:
(a) a massa do ar, em lb, e a temperatura final, em ^circ R.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A gente tem um volume de 20 pés cúbicos de ar a uma temperatura de 600 °R e pressão de 100 lbf/in². Esse ar passa por um processo politrópico de expansão até a pressão final de 51,4 lbf/in². A relação do processo é $ p V^{1,2} = constante $ e o trabalho envolvido é de 194,34 Btu. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a massa do ar em libras (lb) e a temperatura final em graus Rankine (°R).

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a massa do ar. Para isso, vamos usar a equação dos gases ideais:
p V = m R T
Aqui, $ p $ é a pressão, $ V $ é o volume, $ m $ é a massa, $ R $ é a constante específica dos gases, e $ T $ é a temperatura.
Precisamos reorganizar essa equação para resolver $ m $:
p

Passo 3

Vamos identificar os valores que temos:
  • Pressão inicial, $ p_1 = 100 , lbf/in^2 $
  • Volume inicial, $ V_1 = 20 , ft^3 $
  • Temperatura inicial, $ T_1 = 600 , °R $
Precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. Vamos converter a pressão de lbf/in² para lbf/ft²:
Sabemos que $ 1 , ft = 12 , in $, então:
p1 = 100 , lbf/in^2
Então,
V1 = 20 , ft^3

Passo 4

Agora, vamos usar o valor da constante específica $ R $ para o ar. Para o ar, $ R = 53.35 , ft \cdot lbf/(lbm \cdot °R) $.
Substituindo os valores na equação da massa:
R

Passo 5

Vamos simplificar os cálculos:
Multiplicando o numerador:
14,400 times 20 = 288,000
E o denominador:
53.35 times 600 = 32,010
Então,
m = 288,00032,010 approx 9 , lbm

Passo 6

Agora que temos a massa do ar, vamos encontrar a temperatura final. Sabemos que o processo é politrópico, e a relação é:
p1 V1^1,2 = p2 V2^1,2
Mas também podemos relacionar temperaturas e volumes usando a equação dos gases:
T2T1 = ( p2p1 )^n-1n
Onde $ n $ é o índice politrópico, que aqui é 1,2.

Passo 7

Vamos calcular a relação das pressões:
p2p1 = 51.4100 = 0.514
Agora, usando a relação das temperaturas:
T2600 = (0.514)^1.2 - 11.2
Calculando o expoente:
0.21.2 = 16
Então,
T2600 = (0.514)^1/6

Passo 8

Calculando $ (0.514)^{1/6} $:
Usando uma calculadora, encontramos:
(0.514)^1/6
Então,
(0.514)^1/6 approx 0.873
Multiplicando ambos os lados por 600:
T2600 = 0.873

Resposta

A massa do ar é aproximadamente 9 lbm e a temperatura final é 523,8 °R.

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