Um volume de 20 ft3 de ar a
e
é submetido a um processo politrópico de expansão até uma pressão final de
. O processo segue a relação
constante. O trabalho envolvido é
Btu. Assumindo um comportamento ideal para o ar e desprezando efeitos de energia cinética e potencial, determine:
(a) a massa do ar, em lb, e a temperatura final, em
.
(a) a massa do ar, em lb, e a temperatura final, em
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica juntos! A gente tem um volume de 20 pés cúbicos de ar a uma temperatura de 600 °R e pressão de 100 lbf/in². Esse ar passa por um processo politrópico de expansão até a pressão final de 51,4 lbf/in². A relação do processo é $ p V^{1,2} = constante $ e o trabalho envolvido é de 194,34 Btu. Nosso objetivo aqui é descobrir duas coisas: a massa do ar em libras (lb) e a temperatura final em graus Rankine (°R).
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a massa do ar. Para isso, vamos usar a equação dos gases ideais:
Aqui, $ p $ é a pressão, $ V $ é o volume, $ m $ é a massa, $ R $ é a constante específica dos gases, e $ T $ é a temperatura.
Precisamos reorganizar essa equação para resolver $ m $:
Passo 3
Vamos identificar os valores que temos:
- Pressão inicial, $ p_1 = 100 , lbf/in^2 $
- Volume inicial, $ V_1 = 20 , ft^3 $
- Temperatura inicial, $ T_1 = 600 , °R $
Precisamos garantir que todas as unidades estejam consistentes. Vamos converter a pressão de lbf/in² para lbf/ft²:
Sabemos que $ 1 , ft = 12 , in $, então:
Então,
Passo 4
Agora, vamos usar o valor da constante específica $ R $ para o ar. Para o ar, $ R = 53.35 , ft \cdot lbf/(lbm \cdot °R) $.
Substituindo os valores na equação da massa:
Passo 5
Vamos simplificar os cálculos:
Multiplicando o numerador:
E o denominador:
Então,
Passo 6
Agora que temos a massa do ar, vamos encontrar a temperatura final. Sabemos que o processo é politrópico, e a relação é:
Mas também podemos relacionar temperaturas e volumes usando a equação dos gases:
Onde $ n $ é o índice politrópico, que aqui é 1,2.
Passo 7
Vamos calcular a relação das pressões:
Agora, usando a relação das temperaturas:
Calculando o expoente:
Então,
Passo 8
Calculando $ (0.514)^{1/6} $:
Usando uma calculadora, encontramos:
Então,
Multiplicando ambos os lados por 600:
Resposta
A massa do ar é aproximadamente 9 lbm e a temperatura final é 523,8 °R.