O volume parcial da água (1) na mistura com metanol (2) a 25 ^circ C e 1 atm pode ser representado por:
barV1(cm^3 / mol)=18,1+a cdot x2^2, em que a=-3,2 cm^3 / mol.
a) Desenvolva uma expressão para o volume parcial molar do metanol nas mesmas condições de temperatura e pressão. Dado: V2(1 atm, 25^circ C)=40,7 cm^3 / mol.
b) Determine o volume parcial molar a diluição infinita do metanol.
c) Qual a variação do volume molar da mistura, ao misturar 20 mols de água com 10 mols de metanol?

Passo 1

O enunciado dá o volume parcial molar da água em uma mistura água ( 1) + metanol ( 2) a 25^circC e 1 atm:
bar V1 = 18,1 + a,x2^2,
com a=-3,2 cm^3/mol e x2 fração molar de metanol. Pede-se:
a) expressão para bar V2 nas mesmas condições; b) bar V2 à diluição infinita; c) variação do volume (molar e total) ao misturar 20 mol de água com 10 mol de metanol. Vamos usar o balanço de volumes e a relação de Gibbs–Duhem a T,P:
x1,dbar V1 + x2,dbar V2 = 0

Passo 2

Diferenciando bar V1 em relação a x2:
dbar V1 = ddx2l(18,1 + a,x2^2r),dx2 = 2,a,x2,dx2
Substituindo em x1dbar V1 + x2dbar V2=0 (com x1=1-x2) obtém-se:
(1-x2),2a,x2,dx2 + x2,dbar V2 = 0 Rightarrow dbar V2 = -2a,(1-x2),dx2

Passo 3

Integramos em x2:
bar V2(x2) = -2aintegral(1-x2),dx2 + C = -2a,x2 + a,x2^2 + C
Em diluição infinita ( x2to0) bar V2=V2^infty deve coincidir com o molar do metanol puro dado ( 40,7 cm^3/mol), logo C=40,7. Substituindo a=-3,2 resulta
bar V2 = 40,7 -2(-3,2),x2 + (-3,2),x2^2 = 40,7 +6,4,x2 -3,2,x2^2

Passo 4

À diluição infinita ( x2to0) basta avaliar a expressão em x2=0:
bar V2^infty = 40,7 cm^3/mol

Passo 5

Para n1=20, n2=10 mols, temos x1=20/30=2/3, x2=1/3. Então
bar V1 = 18,1 +(-3,2)l(tfrac13r)^2 = 18,1 -3,2cdottfrac19 =17,744 cm^3/mol,
bar V2 = 40,7 +6,4cdottfrac13 -3,2l(tfrac13r)^2 =42,478 cm^3/mol
O volume molar da mistura é
bar Vmix = x1,bar V1 + x2,bar V2 = tfrac23cdot17,744 + tfrac13cdot42,478 =25,989 cm^3/mol
O volume molar ideal (sem interação) seria
bar Videal = x1,18,1 + x2,40,7 =25,633 cm^3/mol,
de modo que a variação de volume molar é
De<abar V = 25,989 - 25,633 = 0,356 cm^3/mol
e a variação total de volume ao misturar 30 mol é
De<a Vtotal = 30cdot0,356 = 10,67 cm^3

Resposta

(a) bar V2=40,7 +6,4,x2-3,2,x2^2 cm^3/mol
(b) bar V2^infty=40,7 cm^3/mol
(c) Variação do volume molar De<abar V=0,356 cm^3/mol, total De<a V=10,67 cm^3

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