O volume parcial molar do benzeno (1) em cicloexano (2), a 30^{\circ} \mathrm{C}, é determinado pela seguinte expressão:
\overline{V_{1}}=93,5-6,35 x_{1}+2,89 x_{1}^{2} \quad\left[\mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}\right]
a) Obtenha uma expressão para o volume parcial molar do cicloexano. (Considere a densidade do cicloexano a 40^{\circ} \mathrm{C} igual a 0,768 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3 e a massa molar do mesmo igual a 84,16 \mathrm{~g} / \mathrm{mol} );
b) Determine os volumes molares parciais para cada espécie quando a mistura contém 10 moles de benzeno e 15 moles de cicloexano.

Passo 1

O enunciado fornece o volume parcial molar de benzoleno em cicloexano à 30^\circ\text{C} como
\overline{V}_{1}(x_{1}) = 93,5 \;-\; 6,35\,x_{1} \;+\; 2,89\,x_{1}^{2} \quad [\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}]
e pede (a) a expressão para o volume parcial molar de cicloexano \overline{V}_{2}(x_{1}) e (b) os valores numéricos de \overline{V}_{1} e \overline{V}_{2} quando a mistura tem 10 mol de benzeno e 15 mol de cicloexano.
Para isso vamos usar a relação
V(x_{1}) \;=\; x_{1}\,\overline{V}_{1}(x_{1}) \;+\; x_{2}\,\overline{V}_{2}(x_{1}),
a condição de Gibbs–Duhem em binário e o fato de que V(0)=V_{2}^{0} (volume molar do cicloexano puro), obtido de
V_{2}^{0} = \frac{M_{2}}{\rho_{2}} = \frac{84,16\;\mathrm{g/mol}}{0,768\;\mathrm{g/cm^{3}}} \approx 109,6\;\mathrm{cm^{3}/mol}.

Passo 2

Para achar V(x_{1}) integramos \overline{V}_{1}(x_{1}) de 0 a x_{1} somando a constante V(0)=V_{2}^{0}:
V(x_{1}) = V_{2}^{0} \;+\;\int_{0}^{x_{1}}\bigl(93,5 - 6,35\,x + 2,89\,x^{2}\bigr)\,dx.
Calculando a integral temos
\int_{0}^{x_{1}}93,5\,dx = 93,5\,x_{1},\quad \int_{0}^{x_{1}}(-6,35\,x)\,dx = -3,175\,x_{1}^{2},\quad \int_{0}^{x_{1}}2,89\,x^{2}\,dx = 0,9633\,x_{1}^{3}.
Logo
V(x_{1}) = 109,6 + 93,5\,x_{1} - 3,175\,x_{1}^{2} + 0,9633\,x_{1}^{3}.

Passo 3

Usando a definição de volume parcial molar para a segunda espécie,
\overline{V}_{2}(x_{1}) = V(x_{1}) \;-\; x_{1}\,\frac{dV}{dx_{1}},
e notando que \frac{dV}{dx_{1}}=\overline{V}_{1}(x_{1}), obtemos
\overline{V}_{2}(x_{1}) = \Bigl[109,6 + 93,5\,x_{1} - 3,175\,x_{1}^{2} + 0,9633\,x_{1}^{3}\Bigr] - x_{1}\bigl(93,5 - 6,35\,x_{1} + 2,89\,x_{1}^{2}\bigr).
Agrupando termos resulta
\overline{V}_{2}(x_{1}) = 109,6 \;+\; 3,175\,x_{1}^{2}\;-\;1,9267\,x_{1}^{3} \quad[\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{mol}].

Passo 4

Na mistura com 10 mol de benzeno e 15 mol de cicloexano, o fração molar de benzeno é
x_{1} = \frac{10}{10+15} = 0,4.
Então
\overline{V}_{1}(0,4) = 93,5 - 6,35\cdot0,4 + 2,89\cdot(0,4)^{2} \approx 91,42\;\mathrm{cm^{3}/mol},
\overline{V}_{2}(0,4) = 109,6 + 3,175\cdot(0,4)^{2} - 1,9267\cdot(0,4)^{3} \approx 109,99\;\mathrm{cm^{3}/mol}.

Resposta

(a) \displaystyle \overline{V}_{2}(x_{1}) = 109,6 \;+\; 3,175\,x_{1}^{2}\;-\;1,9267\,x_{1}^{3}
(b) \overline{V}_{1}=91,42\;\mathrm{cm^{3}/mol} e \overline{V}_{2}=109,99\;\mathrm{cm^{3}/mol}.

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