Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
ou seja, encontrar todos os números reais
que satisfazem essa igualdade. Informações dadas e observações iniciais:
- A notação
é o logaritmo de base de . - O domínio do logaritmo exige
. Portanto só faz sentido procurar raízes positivas. - A pergunta é: encontrar o(s) valor(es) de
que satisfazem a equação.
Passo 2
Vamos transformar a equação em uma função cuja raiz procuramos. Defino
Então resolver a equação é achar
tal que
.
Explicando cada termo (mini-aula rápida):
-
é o logaritmo decimal. Propriedade útil: , . Derivada: , onde é o logaritmo natural de (número aproximado ). - A função
é diferenciável em e sua derivada é
Note que, para
,
, logo
para todo
. Isso nos diz que
é estritamente crescente no domínio
. Conclusão importante: se existir uma raiz em
, ela é única.
Passo 3
Agora vamos localizar um intervalo em que exista mudança de sinal (garantindo a presença da raiz pelo Teorema do Valor Intermediário). Calculo
em dois pontos fáceis:
Como
, tem-se
Portanto
e
. Como
é contínua e estritamente crescente, existe exatamente uma raiz
em
, mais precisamente em
e, pelo sinal, em
ou
. Observando os sinais acima, a raiz está no intervalo
.
Passo 4
Método numérico: escolho o Método de Newton para encontrar a raiz com rapidez. Vou explicar o método:
- Se queremos resolver
com diferenciável, a iteração de Newton é
- Intuição: aproximamos
por sua reta tangente em e usamos a interseção dessa reta com o eixo como nova aproximação. - É preciso fornecer uma aproximação inicial
. Como sabemos a raiz está em , tomo .
Também reiterando a fórmula da derivada que usaremos:
Passo 5
Primeira iteração:
.
Calculo
:
Calculo
:
Aplicando Newton:
Passo 6
Avaliação em
para ver a precisão.
Para evitar calcular
do zero, uso uma aproximação linear da variação do logaritmo (válida porque já estamos bem próximos):
Substituindo números:
Agora
:
O valor de
é aproximadamente
, muito próximo de zero. Uma iteração adicional de Newton produziria correção extremamente pequena (ordem
ou menor), então a solução já está bem convergida.
Passo 7
Interpretação final e controle de unicidade:
- Achamos uma solução
. - Como
é estritamente crescente em , essa solução é única. - Para a maioria das provas práticas, a aproximação com seis casas decimais
é mais do que suficiente.