Se um corpo não contém planos de simetria, os principais momentos de inércia podem ser determinados matematicamente. Para mostrar como isso é feito, considere o corpo rígido que está girando com velocidade angular ω, direcionado ao longo de um de seus principais eixos de inércia. Se o momento de inércia principal em torno deste eixo é I, o momento angular pode ser expresso como H = I ω = I ω x i + I ω y j + I ω z k Os componentes de H também podem ser expressos pelas Eqs. 21-10, onde se assume que o tensor de inércia é conhecido. Equacione os componentes i,j ek de ambas as expressões para H e considere ω x , ω y , e ω z como desconhecidos. A solução destas três equações é obtida desde que o determinante dos coeficientes seja zero. Mostre que esse determinante, quando expandido, produz a equação cúbica.

I 3 - I x x + I y y + I z z I 2

+ I x x I y y + I y y I z z + I z z I x x - I x y 2 - I y z 2 - I z x 2 I

- I x x I y y I z z - 2 I x y I y z I z x - I x x I y z 2 - I y y I z x 2 - I z z I x y 2 = 0

As três raízes positivas de I, obtidas a partir da solução desta equação, representam os principais momentos de inércia I x , I y , e I z

Passo 1

O enunciado gurizada pede que a gente determine dos coeficientes seja zero. Mostre que esse determinante, quando expandido, produz a equação cúbica.

H = I ω = I ω x i + I ω y j + I ω z k

Equacionar os componentes i,j,k às equações escalares (Eq. 21-10) produz

I x x - I ω x - I x y ω y - I x z ω z = 0 - I x x ω x + I x y - I ω y - I y z ω z = 0 - I z x ω z - I z y ω y + I z z - I ω z = 0

Passo 2

Solução para   ω x , ω y ,  e  ω z , requer

I x x - I - I x y - I x z - I y x I y y - I - I y z - I z x - I z y I z z - I = 0

Expandindo I 3 - I x x + I y y + I z z I 2 + I x x I y y + I y y I z z + I z z I x x - I x y 2 - I y z 2 - I z x 2 I

- I x x I y y I z z - 2 I x y I y z I z x - I x x I y z 2 - I y y I z x 2 - I z z I x y 2 = 0  Q.E.D.

Resposta

I 3 - I x x + I y y + I z z I 2 + I x x I y y + I y y I z z + I z z I x x - I x y 2 - I y z 2 - I z x 2 I - I x x I y y I z z - 2 I x y I y z I z x - I x x I y z 2 - I y y I z x 2 - I z z I x y 2 = 0   Q . E . D .