Determine por integração direta o produto da inércia I x y para o prisma homogêneo. A densidade do material é ρ. Expresse o resultado em termos da massa total m do prisma.

Passo 1

O enunciado gurizada pede que a gente determine por integração direta o produto da inércia I x y para o prisma homogêneo. A densidade do material é ρ. Expresse o resultado em termos da massa total m do prisma.

A massa do elemento diferencial é d m = ρ d V = ρ h x d y = ρ h ( a - y ) d y .

m = ∫ m   d m = ρ h ∫ 0 a   ( a - y ) d y = ρ a 2 h 2

Usando o diagrama de eixos paralelos

d I x y = d I x ' y ' G + d m x G y G = 0 + ( ρ h x d y ) x 2 ( y ) = ρ h 2 2 x 2 y d y = ρ h 2 2 y 3 - 2 a y 2 + a 2 y d y

I x y = ρ h 2 ∫ 0 a   y 3 - 2 a y 2 + a 2 y d y = ρ a 4 h 24 = 1 12 ρ a 2 h 2 a 2 = m 12 a 2

Resposta

I x y = m 12 a 2