Determine por integração direta o produto da inércia I y z para o prisma homogêneo. A densidade do material é ρ. Expresse o resultado em termos da massa total m do prisma.

Passo 1

O enunciado gurizada pede que a gente determine por integração direta o produto da inércia I y z para o prisma homogêneo. A densidade do material é ρ. Expresse o resultado em termos da massa total m do prisma.

A massa diferencial do elemento é d m = ρ d V = ρ h x d y = ρ h ( a - y ) d y

m = ∫ m   d m = ρ h ∫ 0 a   ( a - y ) d y = ρ a 2 h 2

Usando o teorema dos eixos paralelos:

d I y z = d I y ' z ' G + d m y G z G

= 0 + ( ρ h x d y ) ( y ) h 2 = ρ h 2 2 x y d y = ρ h 2 2 a y - y 2 d y

I y z = ρ h 2 2 ∫ 0 a   a y - y 2 d y = ρ a 3 h 2 12 = 1 6 ρ a 2 h 2 ( a h ) = m 6 a h

Resposta

I y z = m 6 a h