O disco circular de 15 kg gira em torno de seu eixo com velocidade angular constante de ω 1 = 10 r a d / s . Simultaneamente, o garfo está girando com uma velocidade angular constante de   ω 2 = 5 r a d / s . Determine o momento angular do disco em torno de seu centro de massa O e sua energia cinética.

Passo 1

O enunciado gurizada pede que a gente determine o momento angular do disco em torno de seu centro de massa O e sua energia cinética.

Os momentos de inércia de massa do disco em relação aos eixos x, y e z são

I x = I z = 1 4 m r 2 = 1 4 ( 15 ) 0.15 2 = 0.084375   k g ⋅ m 2 I y = 1 2 m r 2 = 1 2 ( 15 ) 0.15 2 = 0.16875   k g ⋅ m 2

Por simetria

I x y = I y z = I x z = 0

Passo 2

Aqui, a velocidade angular do disco pode ser determinada a partir da adição vetorial de ω 1  e  ω 2 , por isso

ω = ω 1 + ω 2 = [ - 10 j + 5 k ] r a d / s

Por isso

ω x = 0               ω y = - 10 r a d s                   ω z = 5 r a d / s

Passo 3

Como o disco gira em torno de um ponto fixo O, podemos aplicar

H x = I x ω x = 0.084375 ( 0 ) = 0 H y = I y ω y = 0.16875 ( - 10 ) = - 1.6875   k g ⋅ m 2 / s H z = I z ω z = 0.084375 ( 5 ) = 0.421875   k g ⋅ m 2 / s

Por isso

H O = [ - 1.69 j + 0.422 k ] k g ⋅ m 2 / s

A energia cinética do disco pode ser determinada a partir de

T = 1 2 I x ω x 2 + 1 2 I y ω y 2 + 1 2 I z ω z 2

= 1 2 ( 0.084375 ) 0 2 + 1 2 ( 0.16875 ) ( - 10 ) 2 + 1 2 ( 0.084375 ) 5 2 = 9.49 J

Resposta

H O = [ - 1.69 j + 0.422 k ] k g ⋅ m 2 / s T = 9.49 J