Para β = 0,2   s - 1 , elabore gráficos no computador como aqueles mostrados na Figura 3.15 para um oscilador senoidal impelido e amortecido, onde x p ( t ) , x c ( t ) e a soma x ( t ) são mostrados. Considere k = 1 k g / s 2 e m = 1   k g . Produza esses gráficos para valores de ω / ω 1 iguais a 1 / 9 , 1 / 3 , 1,1, 3 e 6 . Para a solução x c ( t ) (Equação 3.40), considere o ângulo de fase δ = 0 e a amplitude A = 1   m . Para a x p ( t ) ) solução (Equação 3.60), considere A = 1   m / s 2 , mas calcule δ . O que se observa em relação às amplitudes relativas das duas soluções à medida que ω aumenta? Por que isto ocorre? Para ω / ω 1 , considere, A = 20   m / s 2 para x ( t ) e produza o gráfico novamente.

Passo 1

Faala meu povo, bora com tudo pra mais uma questão do nosso livro!

Bem galerinha, primeiramente precisamos usar um computador para plotar as equações 3.40 e 3.60, então precisamos plotar sua soma, esta equação é dada por:

x c t = A e - β t cos ⁡ ( ω 1 t - δ )

Onde:

ω 1 = ω 0 2 - β 2

Assim:

x t = A e - β t cos ⁡ t ω 0 2 - β 2 - δ   ( 1 )

Equação 3.60 é dada por:

x p t = A ω 0 2 - ω 2 + 4 ω 2 β 2 cos ⁡ ω t - δ   ( 2 )

Onde:

δ = tan - 1 ⁡ 2 ω β ω 0 2 - ω 2

Deixe ω / ω 0 = α onde α é constante, então a diferença de fase será:

δ = tan - 1 ⁡ 2 α ω 1 β ω 0 2 - α 2 ω 1 2

Substitua ω 1 para obter:

δ = tan - 1 ⁡ 2 α ω 0 2 - β 2 β ω 0 2 - α 2 ω 0 2 - β 2   ( 3 )

usando esta equação podemos encontrar δ para um dado α . Observe que substituímos por ω = α ω 1 na equação ( 2 ) também, para que possamos plotar os números para um dado α .

Primeiro precisamos traçar a equação (1) dado que β = 0,2   s - 1 , k = 1   k g / s 2 e m = 1   k g , desses valores podemos encontrar ω 0 2 = k / m , deixamos que o ângulo de fase nesta equação seja δ = 0 e a amplitude seja A = - 1   m . Depois disso, precisamos traçar a equação (2), com A = 1   m / s 2 , mas nesta equação precisamos encontrar δ usando a equação (3) e, finalmente, precisamos plotar a soma das equações (1) e (2), todos esses gráficos no mesmo gráfico, e para α = 1 9 , 1 3 , 1.1 ,   3   e   6 . Para isso usaremos Python e o código é mostrado na figura a seguir:

A linha azul é a solução complementar x c e a curva laranja é a solução particular x p , onde o verde indica sua soma:

A amplitude da solução complementar x c é constante e é dado por A como ω varia, mas a amplitude da solução particular x p torna-se maior à medida que ω passa pela ressonância próxima a 0,96   r a d / s e diminui à medida que ω aumenta além de 0,96   r a d / s . Agora precisamos reproduzir o gráfico para α = 6 e A = 20   m / s 2 , o gráfico é mostrado na figura a seguir:

Finalizamos aqui nossa questão, tranquilo? Te vejo na próxima!

Resposta

v e r   p a s s o   a   p a s s o