Enunciado

10.12 Determine o momento de inércia da área em relação ao eixo x .

Passo 1

A fórmula do momento de inércia em relação ao eixo x é

I x = ∫ A y 2 d A

Nós precisamos escolher um elemento infinitesimal de área que seja paralelo ao eixo x :

O elemento infinitesimal de área vai ser igual a

d A = x d y

Isolando x na função dada:

y = 2 - 2 x 3

2 x 3 = 2 - y

x 3 = 2 - y 2

x = 2 - y 2 1 / 3

Então

d A = 2 - y 2 1 / 3 d y

E os limites de integraçãoo vão ir de 0 até 2, porque vamos integrar em y .

Passo 2

Agora é só reolver a integral

I x = ∫ A y 2 d A

I x = ∫ 0 2 y 2 ⋅ 2 - y 2 1 / 3 d y

I x = ∫ 0 2 y 2 ⋅ 2 - y 1 3 2 1 / 3 d y

Vamos tirar a constante para fora da integral

I x = 1 2 1 / 3 ∫ 0 2 y 2 ⋅ 2 - y 1 / 3 d y

Vamos usar a técnica de substituição

u = 2 - y

y = 2 - u

d y = - d u

Os limites de integração vão ser:

Quando y = 0 :

u = 2 - y

u = 2 - 0

u = 2

E quando y = 2 :

u = 2 - y

u = 2 - 2

u = 0

Como a integral não pode ir de 2 até 0, devemos mudar o sinal da integral e inverter os limites de integração:

I x = - 1 2 1 / 3 ∫ 0 2 2 - u 2 ⋅ u 1 / 3 ( - 1 ) d u

O menos de fora da integral com o que tem ali dentro de lado do d u se cancelam:

I x = 1 2 1 / 3 ∫ 0 2 2 - u 2 ⋅ u 1 / 3 d u

I x = 1 2 1 / 3 ∫ 0 2 ( u 2 - 4 u + 4 ) ⋅ u 1 / 3 d u

I x = 1 2 1 / 3 ∫ 0 2 ( u 2 ⋅ u 1 / 3 - 4 u ⋅ u 1 / 3 + 4 ⋅ u 1 / 3 ) d u

Quando a gente multiplica o mesmo número com expoentes diferentes, devemos somar os expoentes:

I x = 1 2 1 / 3 ∫ 0 2 ( u 2 + 1 / 3 - 4 u 1 + 1 / 3 + 4 u 1 / 3 ) d u

I x = 1 2 1 / 3 ∫ 0 2 ( u 7 / 3 - 4 u 4 / 3 + 4 u 1 / 3 ) d u

Agora é só fazer a integração do polinômio:

I x = 1 2 1 / 3 3 u 10 / 3 10 - 4 ⋅ 3 u 7 / 3 7 + 4 ⋅ 3 u 4 / 3 4 0 2

I x = 1 2 1 / 3 3 2 10 / 3 10 - 4 ⋅ 3 2 7 / 3 7 + 4 ⋅ 3 2 4 / 3 4

I x = 0,7937 ⋅ 3,023 - 8,639 + 7,559

I x = 1,54   m 4

Resposta

I x = 1,54   m 4

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