Enunciado

10.33 Determine o momento de inércia da área da seção transversal em relação ao eixo y .

Passo 1

Vamos separar essa área em 3 pedaços, o triângulo,o retângulo e a cicunferência:

O momento de inércia total será a soma dos momentos de inercia do triângulo e do retângulo, menos o momento de inercia da circunferância:

I y = I t r i â n g u l o + I r e t â n g u l o - I c i r c u n f e r ê n c i a

Pela tabela, sabemos que os momentos de inércia dessas formas são:

I t r i â n g u l o = 1 36 b h 3

Nesse caso temos que pensar que a base do triângulo é 200 e a altura é 100 , pois estamos olhando para o eixo y .

I r e t â n g u l o = 1 12 h b 3

I c i r c u n f e r ê n c i a = 1 4 π r 4

O momento de inercia, já aplicando o terorema dos eixos paralelos, fica assim:

I y = 1 36 b h 3 + A d 2 t r i â n g u l o + 1 12 h b 3 + A d 2 r e t â n g u l o - 1 4 π r 4 + A d 2 c i r c u n f e r ê n c i a

Passo 2

A área da base e da altura. tanto do retângulo como do triângulo, o exercícios nos dá. A área e a distância até o centroide de cada retângulo é bem fácil de calcular:

Da imagem, podemos perceber que:

d t r i â n g u l o = 300 - 1 3 h

d t r i â n g u l o = 300 - 300 3

d t r i â n g u l o = 200   m m

e

d r e t â n g u l o = 1 2 h + 300

d r e t â n g u l o = 300 2 + 300

d r e t â n g u l o = 450   m m

Olhando para a circunferência:

d c i r c u n f e r ê n c i a = 45 0   m m

As áreas são iguais a:

A t r i â n g u l o = 300 200 2

A r e t â n g u l o = 300 200

A c i r c u n f e r ê n c i a = π 75 2

Vamos cacular o momentos de inercia separados, para não ficarmos com uma equação gigante e ter perigo de se perder no meio das contas.

I t r i â n g u l o = 1 36 2 00 3 00 3 + 300 200 2 200 2

I t r i â n g u l o = 1 , 3 5 ⋅ 10 9   m m 4

I r e t â n g u l o = 1 12 2 00 3 00 3 + 300 200 45 0 2

I r e t â n g u l o = 1 , 26 ⋅ 10 10   m m 4

I c i r c u n f e r ê n c i a = 1 4 π 75 4 + π 75 2 45 0 2

I c i r c u n f e r ê n c i a = 3 , 6 0 ⋅ 10 9   m m 4

Então, somando, nossa equação vai ficar:

I y = I r e t â n g u l o + I r e t â n g u l o - I c i r c u n f e r ê n c i a

I y = 1,35 ⋅ 10 9 + 1,26 ⋅ 10 10 - 3,60 ⋅ 10 9

I y = 10,3 ⋅ 10 9   m m 4

Resposta

I y = 10,3 ⋅ 10 9   m m 4

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