Enunciado

10.36 Localize o centroide y - da área composta, depois determine o momento de inércia dessa área em relação ao eixo centroidal x ' .

Passo 1

A distância y - , até o centroide, é dada pela fórmula:

y - = ∑ y - A ∑ A

Vamos separar essa área em 3 retângulos:

A distância até o centroide do primeiro e do terceiro é 25 , já do é 1 0 :

y - 1 = 25   m m

y - 2 = 1 0   m m

y - 3 = 25   m m

As áreas são iguais a:

A 1 = A 3 = 1 0 5 0 = 500   m m 2

A 2 = 4 0 2 0 = 800   m m 2

Então seu centroide estará localizado em

y - = y - 1 A 1 + y - 2 A 2 + y - 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3

y - = 25 500 + 1 0 8 00 + 25 500 5 00 + 8 00 + 5 00

y - = 18,33   m m

Agora é só calcular o momento de inercia.

Passo 2

O centroide dos retângulos não coincide com o eixo que estamos usando para calcular o momento de inercia, então precisamos usar o teorema dos eixos paralelos. Vamos calcular o momento de inercia de cada retângulo e depois soma-los.

Pela tabela sabemos que o momento de inercia de um retângulo é igual a 1 12 b h 3 . Podemos observar que como os retângulos 1 e 3 são iguais e seus centroides estão a uma mesma distância do eixo x ' , seus momentos de inercia serão iguais. Usando o teorema dos eixos paralelos vamos ter que

I x ' 1 = I x ' 3 = 1 12 b h 3 + A d 2

I x ' 1 = I x ' 3 = 1 12 10 5 0 3 + 500 25 - y - 2

Nós já descobrimos o valor de y - :

I x ' 1 = I x ' 3 = 1 12 10 50 3 + 500 25 - 18,33 2

I x ' 1 = I x ' 3 = 1 2 , 64 ⋅ 10 4   m m 4

Para 2 o processo é o mesmo:

I x ' 2 = 1 12 b h 3 + A d 2

I x ' 2 = 1 12 4 0 2 0 3 + 800 y - - 10 2

Nós já descobrimos o valor de y - :

I x ' 2 = 1 12 40 20 3 + 800 18,33 - 10 2

I x ' 2 = 8,2 2 ⋅ 10 4   m m 4

Somando os três momentos obtemos o total:

I x = I x ' 1 + I x ' 2 + I x ' 3

I x = 12,64 ⋅ 10 4 + 8,22 ⋅ 10 4 + 12,64 ⋅ 10 4

I x = 33 , 5 ⋅ 10 4   m m 4

Resposta

y - = 18,33   m m

I x = 33,5 ⋅ 10 4   m m 4

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