Enunciado

10.53 Localize o centroide y - da área da seção transversal do canal, depois determine o momento de inércia da área em relação ao eixo centroidal x ' .

Passo 1

Falaaa! O enunciado já deu o passo a passo da questão haha. A gente vai achar o centroide dessa seção em relação a y e depois o momento de inércia em relação ao eixo horizontal que passa por esse cara.

Podemos ver nossa figura como composta por figuras mais simples, nesse caso a distância y - , do eixo x até o centroide, é dada pela fórmula:

y - = ∑ y - A ∑ A

Vamos separar essa área em 3 retângulos e calcular a área e a coordenada y - do centroide de cada um em relação a x :

Os centroides dos retângulos são no centro deles. A distância até o centroide do primeiro e do terceiro é 30 , já do segundo é 62,5 :

y - 1 = 30   m m

y - 2 = 62,5   m m

y - 3 = 30   m m

As áreas são iguais a:

A 1 = A 3 = 5 60 = 300   m m 2

A 2 = 140 5 = 700   m m 2

Então seu centroide estará localizado em

y - = y - 1 A 1 + y - 2 A 2 + y - 3 A 3 A 1 + A 2 + A 3

y - = 30 300 + 62,5 700 + 30 300 300 + 700 + 300

y - = 47,5   m m

Agora é só calcular o momento de inercia.

Passo 2

O centroide dos retângulos não coincide com o eixo que estamos usando para calcular o momento de inercia, então precisamos usar o teorema dos eixos paralelos. Ele tem essa cara:

I = 1 12 b h 3 + A d 2

Percebe que é adicionar esse termo A d 2 a a fórmula que a gente já tinha para o retângulo. Aí A é a área do retângulo

A = b h

E d é a distância do centroide de cada figura até o eixo onde a gente quer calcular o momento de inércia x ' . Podemos escrever assim:

d = y - i - y -

Esse y - i é do centroide cada figura, e y - é do centroide da figura composta inteira. Não importa a ordem em que fazemos a substração, tá? Pode ser d = y - - y - i também.

Dito isto, vamos calcular o momento de inercia de cada retângulo e depois soma-los.

Passo 3

Pela tabela sabemos que o momento de inercia de um retângulo é igual a 1 12 b h 3 , onde b é a dimensão do segmento paralelo a y .

Podemos observar que como os retângulos 1 e 3 são iguais e seus centroides estão a uma mesma distância do eixo x ' , por isso seus momentos de inercia serão iguais. Usando o teorema dos eixos paralelos vamos ter que

I x ' 1 = I x ' 3 = 1 12 b h 3 + A d 2

I x ' 1 = I x ' 3 = 1 12 5 60 3 + 300 y - - 30 2

Nós já descobrimos o valor de y - :

I x ' 1 = I x ' 3 = 1 12 5 60 3 + 300 47,5 - 30 2

I x ' 1 = I x ' 3 = 18,19 ⋅ 10 4   m m 4

Para 2 o processo é o mesmo:

I x ' 2 = 1 12 b h 3 + A d 2

I x ' 2 = 1 12 140 5 3 + 700 62,5 - y - 2

Nós já descobrimos o valor de y - :

I x ' 2 = 1 12 140 5 3 + 700 62,5 - 47,5 2

I x ' 2 = 15,90 ⋅ 10 4   m m 4

Somando os três momentos obtemos o total:

I x = I x ' 1 + I x ' 2 + I x ' 3

I x = 18,19 ⋅ 10 4 + 15,90 ⋅ 10 4 + 18,19 ⋅ 10 4

I x = 52,3 ⋅ 10 4   m m 4

Resposta

y - = 47,5   m m

I x = 52,3 ⋅ 10 4   m m 4

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