Enunciado

10.58 Determine o momento de inércia I y ' da seção. A origem das coordenadas está no centroide C .

Passo 1

Falaaa! A gente quer o momento de inércia em relação ao eixo y . Essa seção é diferentona, mas a gente pode dividir em figuras mais simples para calcular o momento de inércia.

Vamos dividir essa área em 8 retângulos:

Mas perceba que temos:

2 retângulos iguais, na horizontal, que chamamos de 1

4 retângulos iguais na vertical, que chamamos de 2

e 2 retângulos iguais na vertical, que chamamos de 3

Além de eles terem seus tamanhos iguais a distância de seus centroides até o eixo x é igual, por essa razão, só precisamos calcular 3 momentos de inercia diferentes e multiplicar pela quantidade de retângulos de cada momento de inercia.

O momento de inercia total, será a soma do momento de inercia desses oito retângulos.

I y ' = 2 I y 1 + 4 I y 2 + 2 I y 3

O momento de inercia de um retângulo, em relação ao eixo y , é igual a 1 12 h b 3 . Sendo h a dimensão do segmento paralelo ao eixo y .

Como o centroide do retângulo 1 coincide com o eixo y , não será necessário usar o teorema dos eixos paralelos para ele, já para 1 e 2 sim.

I y ' = 2 1 12 h b 3 y 1 + 4 1 12 h b 3 + A d 2 y 2 + 2 1 12 h b 3 + A d 2 y 3

Esse A é a área da figura, e d é a distância entre y e o centroide da figura.

Passo 2

Precisamos da área dos retângulos 2 e 3:

A 2 = b 2 ⋅ h 2

A 2 = 12 100

A 2 = 1200   m m 2

e

A 3 = b 1 ⋅ h 1

A 3 = 12 150

A 3 = 1800   m m 2

A distância do centroide até o eixo y achamos olhando para a imagem, a gente observa que:

d 2 = 125 - 12 2

d 2 = 119   m m

e

d 3 = 125 + 12 2

d 3 = 131   m m

A base e a altura do retângulo 1 nós podemos observar na imagem:

b 1 = 226   m m

h 1 = 12   m m

Passo 3

Pra não ficar com uma equação muito grande vamos calcular os momentos de inercia de 1, 2 e 3 separadamete e depois jogá-los na nossa fórmulinha:

I y = 2 I y 1 + 4 I y 2 + 2 I y 3

Rentângulos 1:

I y 1 = 1 12 12 226 3

I y 1 = 11,54 ⋅ 10 6   m m 4

Rentângulos 2:

I y 2 = 1 12 100 12 3 + 1200 119 2

I y 2 = 17,0 ⋅ 10 6   m m 4

Rentângulos 3:

I y 3 = 1 12 150 12 3 + 1800 131 2

I y 3 = 30,91 ⋅ 10 6   m m 4

Agora substituindo na equação do momento de inercia total:

I y = 2 I y 1 + 4 I y 2 + 2 I y 3

I y = 2 11,54 ⋅ 10 6 + 4 17,0 ⋅ 10 6 + 2 30,91 ⋅ 10 6

I y = 152,9 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

I y = 152,9 ⋅ 10 6   m m 4

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