Enunciado

10.6 Determine o momento de inércia da área da seção transversal da viga em relação aos eixos centroidais x e y .

Passo 1

Vamos dividir essa área em 4 retângulos:

O momento de inércia total será a soma dos momentos de inercia desses quatro retângulos. Além disso, podemos observar que o momento de inercia dos retângulos que estão na horizontal, 1 e 3, vão ser iguais. O mesmo ocorre com o momento de inercia dos que estão na vertical, 2 e 4, pois eles tem as mesmas medidas e distâncias até eixo x .

Pela tabela, sabemos que o momento de inércia de um retângulo é igual a 1 12 b h 3 . Porém, precisaremos usar o teorema dos eixos paralelos, para os retângulos que estão na horizontal, pois seus centroides não coincidem com o eixo x :

I x = 2 1 12 b h 3 + A d 2 1,3 + 2 1 12 b h 3 2,4

Passo 2

A área da base e a altura dos retângulos o exercícios nos dá. Só precisamos das distância dos centroides dos retângulos 1 e 3 até o eixo x e da área desses retângulos:

d 1 = d 3 = 100 - 30 2

d 1 = d 3 = 85   m m

A = 30 0 30

Então nossa equação vai ficar:

I x = 2 ⋅ 1 12 30 0 30 3 + 300 30 8 5 2 + 2 ⋅ 1 12 30 2 00 3

I x = 1 7 1 ⋅ 10 6   m m 4

Passo 3

Assim como I x , o momento de inercia total em y será a soma dos momentos de inercia dos retângulos. Porém quando estamos calculando o momento de inercia em relação ao eixo y a fórmula será 1 12 h b 3 .

Os momentos de inercia de 1 e 3 são iguais, assim como os momentos de inercia de 2 e 4. Como os retângulo 1 e 3 tem seus centroides coincidindo com o eixo y , não é necessário usar o teorema dos eixos paralelos para eles.

I y = 2 1 12 h b 3 1,3 + 2 1 12 h b 3 + A d 2 2,4

Passo 4

A área da base e a altura dos retângulos o exercícios nos dá. Só precisamos das distância dos centroides dos retângulos 2 e 4 até o eixo y e da área desses retângulos:

d 2 = d 4 = 3 00 2 + 30 2

d 2 = d 4 = 16 5   m m

A = 30 20 0

Então nossa equação vai ficar:

I y = 2 1 12 30 300 3 1,3 + 2 1 12 200 30 3 + 30 200 165 2 2,4

I y = 463 ⋅ 10 6   m m 4

Resposta

I x = 171 ⋅ 10 6   m m 4

I y = 463 ⋅ 10 6   m m 4

Ver Outros Exercícios desse livro