Enunciado

108. A janela é mantida aberta pela corrente A B . Determine o comprimento da corrente, expresse a força de 50   l b que atua em A ao longo da corrente como um vetor cartesiano e determine seus ângulos diretores coordenados.

Passo 1

Para descobrirmos o tamanho da corrente, podemos calcular o vetor que sai de A até B já que as coordenadas desses pontos são fáceis de achar na figura.

Tendo esse vetor, basta calcular a norma dele que assim acharemos o comprimento da corrente, já que ela vai de A até B .

Para expressar a força como um vetor cartesiano, basta multiplicar sua intensidade dada no enunciado por um vetor unitário que tem a mesma direção e poderemos achar o vetor unitário por meio do vetor que vai de A até B que achamos anteriormente, da seguinte maneira:

u A B → = r A B → r → A B

Aí para realizarmos o último pedido do enunciado, nós pegamos o vetor unitário que calculamos para expressar a força na forma vetorial, ele pode ser escrito da seguinte maneira:

u A B → = r A B → r → A B = r A B i r A B + r A B j r A B + r A B k r A B

E depois temos que cada componente representa o cosseno do ângulo diretor referente a direção da componente.

Passo 2

Vamos começar então galera.

Primeiro vamos calcular o vetor unitário para a força, vamos chamar o vetor unitário de u A B → .

Mas antes temos que achar o vetor que liga A e B , então

A = 5 cos ⁡ 40 ° i + 8 j + 5 sin ⁡ 40 ° k

B = 0 i + 5 j + 12 k

⇒ r A B → = - 5 cos ⁡ 40 ° + 0 i + 5 - 8 j + 12 - 5 sin ⁡ 40 ° k

= - 3,83 i - 3 j + 8,786

Agora com esse resultado, vamos calcular a norma e achar o comprimento da corrente.

r A B → = 14,516 + 9 + 77,193

= 100,709

= 10,035   p é s

Obtendo assim o comprimento da corrente.

Passo 3

Agora que temos o vetor r A B → , vamos calcular o vetor unitário.

u A B → = { - 3,83 i - 3 j + 8,786 } 14,668 + 9 + 77,193

= - 3,83 i - 3 j + 8,786 1 00,861

= - 3,83 i - 3 j + 8,786 10,042

Então:

u A B → = - 0,381 i - 0,298 j + 0,874 k

Passo 4

Agora vamos colocar a força na forma vetorial, fazendo o que foi explicado no passo um.

F → = 50 ⋅ u A B →

= 50 ⋅ - 0,381 i - 0,298 j + 0,874 k

= - 1 9 , 05 i - 14 , 9 j + 43,7 k

Passo 5

Agora vamos encontrar os ângulos diretores. Para isso basta pegar o vetor unitário que já achamos e usar a método mostrado no passo 1 .

Então temos o seguinte até agora:

u A B → = - 0,381 i - 0,298 j + 0,874 k

Tendo isso:

cos ⁡ α = - 0,381

⇒ α = 112,39 °

Onde α é o ângulo entre o vetor e o eixo x .

cos ⁡ β = - 0,298

⇒ β = 107,33 °

Onde β é o ângulo entre o vetor e o eixo y .

E por último:

cos ⁡ γ = 0,874

⇒ γ = 29,07 °

Onde γ é o ângulo entre o vetor e o eixo z .

Resposta

Comprimento da corrente:

10,035   p é s

F → = { - 19,05 i - 14,9 j + 43,7 k }

α = 112,39 °

β = 107,33 °

γ = 29,07 °

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