Enunciado

111.Determine o ângulo θ entre os dois vetores.

Passo 1

Para determinar esse ângulo podemos usar a seguinte equação que está presente no livro na página 58 que fornece o ângulo entre dois vetores.

θ = arccos ⁡ A → ⋅ B → A B

Então para usarmos essa fórmula no nosso caso, precisamos achar r 1 → e r 2 → e seus módulos.

E poderemos achar os vetores pelos ângulos que temos na figura, basta multiplicar o módulo de r 1 e r 2 por cosseno ou seno do ângulo entre o vetor e os eixos coordenados.

Passo 2

Vamos lá então:

Começando com r 1 → :

r 1 → = 9 sin ⁡ 40 ° cos ⁡ 30 ° i - 9 sin ⁡ 40 ° s in ⁡ 30 ° j + 9 cos ⁡ 40 ° k

= 5,01 i - 2,89 j + 6,89 k

Agora para r 2 → :

r 2 → = 6 cos ⁡ 60 ° i + 6 cos ⁡ 45 ° j + 6 cos ⁡ 120 ° k

= 3 i + 4,24 j - 3 k

Passo 3

Agora vamos calcular os módulos dos vetores encontrados.

  r 1 → = 25,1 + 8,352 + 47,47

= 80,922 = 8,995

  r 2 → = 9 + 17,977 + 9

= 35,977 = 5,998

Passo 4

Agora que temos que precisamos, basta usar a fórmula mencionada no passo 1 .

θ = arccos ⁡ ( 5,01 i - 2,89 j + 6,89 k ) ⋅ ( 3 i + 4,24 j - 3 k ) 8,995 * 5,998

= arccos ⁡ 15,03 - 12,253 - 20,67 53,95

= arccos ⁡ - 1 7,893 5 3,95

= arccos ⁡ - 0 , 331

Então:

⇒ θ = 1 09,32 °

Resposta

θ = 109,32 °

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