Enunciado

13. Os dois perfis em U de aço devem ser interligados para formar uma coluna da ponte de 9   m de comprimento que consideramos estar acoplada por pinos nas extremidades. Cada perfil em U tem área de seção transversal A = 1950   m m 2 e momentos de inércia I x = 21,60 ⋅   10 6   m m 4 , I y = 0,15 ⋅   10 6   m m 4 . A figura mostra a localização do centroide C de sua área. Determine a distância adequada d entre os centroides dos perfis em U , de modo que ocorra flambagem em torno dos eixos x - x e y ' - y ' devido à mesma carga. Qual é o valor dessa carga crítica? Despreze o efeito da interligação. E a ç o = 200   G P a , σ e = 350   M P a

Passo 1

Bem! Vamos entender esse enunciado grandão! O que ele quer dizer é que a gente tem uma coluna, e seção dessa coluna é a junção de dois perfis U.

Então na verdade, vamos usar todos os nossos conhecimentos de flambagem de colunas aqui, levando em consideração que nossa seção é formada por esses dois U’s posionados a uma distância d , que queremos descobrir, ok?

Essa distância permite que a nossa coluna sofra flambagem em torno dos dois eixos por causa de uma mesma carga crítica.

Como as extremidades estão presas por pinos, de cara já tiramos que o fator de comprimento efetivo K , é igual a 1 .

Outros dados:

L = 9   m

E a ç o = 200   G P a

σ e = 350   M P a

A = 1950   m m 2

E para um perfil U sozinho, temos que:

I x = 21,60 ⋅   10 6   m m 4

I y = 0,15 ⋅   10 6   m m 4

Bora começar!

Passo 2

Vamos tratar de obter o momentos de inércia em relação ao eixo x da nossa seção completa.

Como o enuciado diz claramente que há dois perfis e nos informa os momentos de inércia em relação a x e y desses perfis; para encontrar o momento resultante em x   basta multiplicar por dois o que nos é fornecido.

I R , x = 2 I x

I R , x = 2 ⋅ 21,60 ⋅   10 6   m m 4

I R , x = 43,20 ⋅   10 6   m m 4

Agora para encontrar o momento em y , se observar na figura do enunciado, vamos ver que teremos que usar o teorema dos eixos paralelos.

I R , y = 2 I y + 2 ⋅ 1950 ⋅ d 2 2

I R , y = 2 ⋅ 0,15 ⋅   10 6   m m 4 + 975 d 2

I R , y = 0,3 ⋅   10 6   m m 4 + 975 d 2

Passo 3

Só que a questão nos pede a distância adequada d entre os centroides dos perfis em U , de modo que ocorra flambagem em torno dos eixos x - x e y ' - y ' devido à mesma carga. Olha a fórmula da carga crítica para flambagem:

P c r = π 2 E I ( K L ) 2

Para os dois eixos, esses valores são iguais, exceto os momentos de inércia. A carga crítica para cada eixo seria:

P c r x = π 2 E I x ( K L ) 2

P c r y = π 2 E I y ( K L ) 2

Se a gente quer que elas sejam iguais, podemos fazer:

P c r x = P c r y → π 2 E I x ( K L ) 2 = π 2 E I y ( K L ) 2 → I x = I y

Ora bolas! A distância adequada vai ser quando o momento de inércia em x for igual ao momento de inércia em y :

I R , x = I R , y

43,20 ⋅   10 6   m m 4 = 0,3 ⋅   10 6   m m 4 + 975 d 2

975 d 2 = 42,90 ⋅   10 6   m m 4

d = 42,90 ⋅   10 6   m m 4 975

d ≅ 209,76   m m

Esse valor d é maior do que 60   m m   ( 2 × 30   m m ) , da figura do enunciado, o valor mínimo a partir do qual a gente pode montar a coluna com essa seção. Então, tudo ok por aqui.

Passo 4

Vamos então, usar a fórmula da carga crítica para a flambagem:

P c r = π 2 E I x ( K L ) 2

E substituindo os valores numéricos pertencentes a cada variável, chegamos até:

P c r = π 2 ( 200 ⋅ 10 9   P a ) ( 43,20 ⋅   10 - 6   m 4 ) ( 1 ⋅ 9,0   m ) 2

P c r ≅ 1052757,8   N   ≅ 1052,758   k N

Resposta

D i s t â n c i a   e n t r e   o s   c e n t r o i d e s → d ≅ 209,76   m m

C a r g a   c r í t i c a → P c r ≅ 1052757,8   N   ≅ 1052,758   k N

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