Enunciado

132. Uma haste uniforme de massa de 10   k g A B é sustentada por uma rótula em A e por uma corda C G que é presa no ponto médio G da corda. Sabendo que a barra encosta sem fricção na parede vertical em B , determine ( a ) a tração na corda, ( b ) as reações em A e B .

Passo 1

Primeiramente, para determinar o que o enunciado quer, temos que saber quais são as possíveis reações que podem ocorrer em A e em B .

Nessa situação com uma rótula segundo a figura 4.10 do livro temos três reações possíveis, uma força na direção x ( A x ) , uma força na direção y ( A y ) e uma força na direção z ( A z ) e o apoio em B irá gerar uma força na direção x .

Para achar uma parte do que o enunciado pede, teremos que analisar a equação de equilíbrio referente ao momento, onde teremos que calcular os momentos na forma vetorial, pois vai facilitar a nossa análise.

Iremos calcular da seguinte maneira:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor que vai da origem da rotação até o ponto de aplicação da força;

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Então teremos o seguinte:

∑ M 0 → = 0

r B A → × B → + r G A → × T → + r G A → × W → = 0

Nesse problema também teremos que usar a equação de equilíbrio referente a força na forma vetorial, da seguinte maneira:

∑ F → = 0

A → + B → + T → + W → = 0

Então precisamos expressar a força de tração em sua forma vetorial, para termos as componentes de cada força em cada direção, para isso precisamos achar o vetor unitário que tem mesma direção que as forças de tração.

Esse vetor pode ser encontrado da seguinte maneira:

u → = r → r →  

Assim no nosso caso temos que o vetor unitário de G C é:

u G C → = - 0 , 3 i + 0 , 2 j - 0 , 225 k 0,425

u G C → = { - 0 , 705 i + 0 , 470 j - 0,529 k }

Agora que temos o vetor unitário, vamos expressar a tração do cabo D G :

T G C → = T G C u G C →

= - 0,705 T G C i + 0,470 T G C j - 0,529 T G C k

Agora temos que achar a força que a força peso da haste faz para baixo na direção y , assim:

W = m ⋅ g

= 10 9,8 = 98   N

Passo 2

Abrindo a equação presente no passo 1 referente ao momento, temos:

r B A → × B → + r G A → × T → + r G A → × W → = 0

i j k - 0 , 6 0 , 4 0 , 15 B 0 0 + i j k - 0 , 3 0 , 2 0 , 075 - 0,705 T G C 0,470 T G C - 0,529 T G C + i j k - 0,3 0,2 0,075 0 - 98 0 = 0

⇒ 0 i - - 0 , 15 B j + - 0 , 4 B k + - 0,141 T G C i - 0,211 T G C j + 0 k +

+ 7,35 i - 0 j + 29,4 k = 0

⇒ - 0,141 T G C + 7,35 i + 0,15 B - 0,211 T G C j + - 0,4 B + 29,4 k = 0

Então ficamos com:

- 0,141 T G C + 7,35 = 0

0,15 B - 0,211 T G C = 0

- 0,4 B + 29,4 = 0

Da equação primeira equação temos:

- 0,141 T G C + 7,35 = 0

⇒ T G C = 52,12   N

E da terceira equação, temos:

- 0,4 B + 29,4 = 0

B = 73,5   N

Passo 3

Agora vamos analisar a equação de equilíbrio referente a força, presente no passo 1 .

A → + B → + T → + W → = 0

⇒ A x i + A y j + A z k + 73,5 i + 0 j + 0 k + - 0,705 T G C i + 0,470 T G C j - 0,529 T G C k +

+ 0 i - 98 j + 0 k = 0

⇒ A x + 73,5 - 0,705 T G C i + A y + 0,470 T G C - 98 j + A z - 0,529 T G C k = 0

Então temos o seguinte:

A x + 73,5 - 0,705 T G C = 0

A y + 0,470 T G C - 98 = 0

A z - 0,529 T G C = 0

Sabendo que T G C = 52,12   N :

A x + 73,5 - 0,705 ( 52,12 ) = 0

⇒ A x = - 36,75   N

A y + 0,470 ( 52,12 ) - 98 = 0

⇒ A y = 73,50   N

A z - 0,529 ( 52,12 ) = 0

⇒ A z = 27,57   N

Resposta

( a )

T G C = 52,12   N

b

A x = - 36,75   N

A y = 73,50   N

A z = 27,57   N

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Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →