Enunciado

170. As forças e os momentos que são aplicados nos suportes dos dedos e do calcanhar de um esqui de neve são F t = - 50 i + 80 j - 158 k   N ,   M t = - 6 i + 4 j + 2 k   N ⋅ m e F h = - 20 i + 60 j - 250 k   N ,   M h = - 20 i + 8 j + 3 k   N ⋅ m , respectivamente. Substitua esse sistema por uma força e um momento equivalentes que atuam no ponto P . Expresse os resultados na forma de vetores cartesianos.

Passo 1

Para achar a força equivalente, basta somar todas forças que temos e obtendo assim uma força resultante F R .Então:

F R → = F t → + F h →

O momento equivalente vai ser dado pela soma dos momentos já atuantes no sistema mais os momentos de cada força em relação ao ponto P . Então:

M R → = M t 1 → + M h 2 → + M t → + M h →

Vamos obter os momentos M t 1 e M h 2 , através de análise vetorial, que é dada por:

M 0 = r → × F → = i j k r x r y r z F x F y F z

Onde:

r x ,   r y   e   r z representam as coordenadas do vetor posição definido a partir do ponto que queremos calcular o momento até a linha de ação da força.

F x ,   F y   e   F z são as componentes da força F aplicada.

Pro nosso caso, vamos considerar um vetor r t → que vai de P até o ponto de aplicação da força F t e o vetor r h → que vai do ponto P até o ponto O , então os vetores escritos da seguinte maneira:

r h → = { 0,8 i + 0 j + 0 k }

r t → = { 0,92 i + 0 j + 0 k }

Passo 2

Vamos calcular F R primeiro, então:

F R → = F 1 → + F 2 →

= - 50 i + 80 j - 158 k + - 20 i + 60 j - 250 k

= - 70 i + 140 j - 408 k   N

Passo 3

Agora vamos calcular M t 1 e M h 2 usando a análise vetorial.

Primeiro vamos calcular M t 1 , vamos lá:

M t 1 → = r t → × F t → = i j k 0,92 0 0 - 50 80 - 158

= i - 158 ⋅ 0 - 0 ⋅ 80 - j - 158 ⋅ 0,92 - - 50 ⋅ 0 + k 0,92 ⋅ 80 - - 50 ⋅ 0

= 0 i + 145,36 j + 73,6 k

Agora vamos calcular M h 2 :

M h 2 → = r h → × F h → = i j k 0 , 8 0 0 - 20 60 - 250

= i - 250 ⋅ 0 - 0 ⋅ 6 0 - j - 250 ⋅ 0 , 8 - - 2 0 ⋅ 0 + k 0 , 8 ⋅ 6 0 - - 2 0 ⋅ 0

= 0 i + 200 j + 48 k

Passo 4

Agora que temos os momentos de cada força em relação a P , podemos calcular M R → .

M R → = M t 1 → + M h 2 → + M t → + M h →

= 0 i + 145,36 j + 73,6 k + 0 i + 200 j + 48 k + - 6 i + 4 j + 2 k + - 20 i + 8 j + 3 k

= { - 26 i + 357,36 j + 126,6 k }

Resposta

F R → = - 70 i + 140 j - 408 k   N

M R → = - 26 i + 357,36 j + 126,6 k   N ⋅ m

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