Enunciado

19.115. Um motor de 200 kg é suportado por molas que têm um constante total de 240 kN/m. O desbalanceamento do rotor é equivalente a uma massa de 30 g localizada a 200 mm do eixo de rotação. Determine o intervalo de valores admissíveis da velocidade do motor se a amplitude da vibração não exceder 1,5 mm.

Passo 1

Vamos para mais um problema! Já vou adiantando para você que nesse problema a gente vai usar uma equação que a gente derivou lá no problema 19.113:

x m = r m M ω f 2 ω n 2 1 - ω f ω n 2

Se quiser pode dar uma olhadinha lá antes que a gente comece esse problema aqui.

Passo 2

Para começar, podemos separar as informações que o enunciado nos dá antes de começar a resolver as contas.

M = 200   k g k = 240 k N m = 240000 N m m = 30   g = 0,03   k g r = 200   m m = 0,2   m

Com esses valores podemos derivar o valor da frequência natural:

ω n 2 = k M = 240 000 200 = 12 00 r a d 2 s 2

E a gente também sabe que não podemos exceder a amplitude de 1,5   m m . Aqui podemos dizer que

x m < 1,5   m m

Isso é

x m < 1,5 ⋅ 10 - 3   m

Passo 3

Beleza, temos tudo para substituir na equação, mas antes de substituir, é interessante a gente isolar ω f , pois é o único valor que não sabemos.

Quando o motor está em fase:

x m > r m M ω f 2 ω n 2 1 - ω f ω n 2

Isso é o mesmo que:

1 - ω f ω n 2 < r m M ω f 2 ω n 2 x m

Então

1 - 1 ω f 2 ω n 2 < r m M x m

Logo

1 ω f 2 ω n 2 > 1 - r m M x m

Agora a gente inverte tudo

ω f 2 ω n 2 < 1 1 - r m M x m

Agora é só passar ω n 2

ω f 2 < ω n 2 1 - r m M x m

Por fim

ω f < ω n 2 1 - r m M x m

Agora podemos substituir os valores

ω f < 1200 1 - 0,02 0,03 200 1,5 ⋅ 10 - 3

Resolvendo tudo isso aqui a gente tem:

ω f < 35   r a d s

Ou

ω f < 335   r p m

Passo 4

Quando o motor está fora de fase podemos fazer

x m > r m M ω f 2 ω n 2 ω f ω n 2 - 1

Isso vai ficar

ω f > ω n 2 r m M x m + 1

Substituindo os valores

ω f > 1200 0,02 0,03 200 1,5 ⋅ 10 - 3 + 1

Isso fica

ω f > 34,3 r a d s

Ou

ω f > 328   r p m

Resposta

ω f < 335   r p m

ω f > 328   r p m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

A barra AB de massa 7,5 kg e comprimento 1 m está presa a um carrinho C de 12,5 kg. Sabendo que o sistema é liberado do repouso na posição mostrada na figura e desprezando o atrito, determine (a) a ve
Uma bala de 45 g é disparada com velocidade de 400 m/s a θ = 5° dentro de um painel quadrado de 9 kg de lado b = 200 mm. Sabendo que h = 150 mm e que o painel está inicialmente em repouso, determine (
No Problema 17.96, determine (a) a distância h requerida para que a reação impulsiva em C seja nula, (b) a velocidade angular correspondente da barra imediatamente após a bala ter se alojado.
Uma bala de 45 g é disparada com velocidade de 400 m/s a θ = 30° dentro de um painel quadrado de 9 kg de lado b = 200 mm. Sabendo-se que h = 150 mm e que o painel está inicialmente em repouso, determi
No Problema 17.83, determine a velocidade da barra AB em relação ao cilindro DE quando a extremidade B da barra bate na extremidade E do cilindro.