Enunciado

19.118. Um motor de 180 kg é parafusado a uma viga horizontal leve. O desbalanceamento do seu rotor é equivalente a uma massa de 28 g localizada a 150 mm do eixo de rotação e a deflexão estática da viga decorrente do peso do motor é de 12 mm. A amplitude da vibração decorrente do desbalanceamento pode ser diminuída pela adição de uma placa na base do motor. Se a amplitude de vibração deve ser menor que 60 m para velocidades do motor acima de 300 rpm, determine a massa necessária da placa.

Passo 1

Esse problema aqui a gente pode separar em dois momentos. O primeiro momento é antes de adicionar a placa, e o segundo momento é depois.

Agora vamos analisar o sistema no primeiro momento.

M = 180   k g m = 28   g = 28 ⋅ 10 - 3   k g r = 150   m m = 0,15   m δ = 12   m m = 12 ⋅ 10 - 3   m

E a deflexão estática da viga vai ajudar a gente a calcular a constante de mola:

k = P δ = m g δ = 180 9,81 12 ⋅ 10 - 3 = 147 , 15 ⋅ 10 3 N m

Esse é nosso sistema antes da adição da placa.

Passo 2

Agora vamos para o segundo momento, a placa é adicionada, então naturalmente a massa vai mudar.

M t = M + m

Em que m é a massa da placa e o que queremos descobrir.

O enunciado nos dá o valor da frequência, ela tem que ser acima de 300   r p m , então se assumirmos que seja exatamente 300   r p m a gente vai trabalhar com o valor mínimo da massa da placa.

ω f = 300   r p m = 31,416 r a d s

E a frequência natural do sistema pode ser calculada assim:

ω n = k M t = 147,15 ⋅ 10 3 M t

Agora vamos usar uma fração entre o quadrado das frequências, isso vai ajudar a gente logo logo.

ω f 2 ω n 2 = 31,416 2 147,15 ⋅ 10 3 M t 2 = 0,006707   M t

Outra informação que temos é que a maior amplitude deve ser 60 μ m , bom, como estamos admitindo ω f = 300   r p m , podemos admitir

x m = 60 μ m = 60 ⋅ 10 - 6   m

Passo 3

Tudo vai se encaixar agora, porque vamos usar uma equação que a gente derivou lá no problema 19.113 , uma equação importantíssima.

x m = r m M t ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2

Olha só a como a fração dos quadrados das frequências vão nos ajudar.

Vamos usar o caso em que o motor está fora de fase.

- x m = r m M t ω f ω n 2 1 - ω f ω n 2

Conhecemos todos os valores dessa equação, menos M t , então vamos fazer algumas modificações para a conta não ficar tão grande.

- x m ⋅ 1 - ω f ω n 2 = r m M t ω f ω n 2

Agora vamos dividir tudo por ω f ω n 2

- x m ⋅ 1 ω f ω n 2 - 1 = r m M t

Então

M t ⋅ 1 ω f ω n 2 - 1 = - r m x m

Agora vamos aplicar a distributiva

M t ω f ω n 2 - M t = - r m x m

Estamos prontos para substituir o valor de ω f ω n 2

M t 0,006707   M t - M t = - r m x m

Cortamos M t na primeira fração

1 0,006707   - M t = - r m x m

E finalmente ficamos com

M t = r m x m + 1 0,006707

Agora é só substituir r m e x m

M t = 0,15 28 ⋅ 10 - 3 60 ⋅ 10 - 6   + 1 0,006707 = 219,1   k g

Passo 4

Falta pouco para terminamos. Agora que sabemos M t , podemos fazer

M t = M + m

m = M t - M

Substituindo os valores

m = 219,1 - 180 = 39,1   k g

Essa é a massa da placa.

Resposta

m = 39,1   k g

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