Enunciado

22. O grampo de fixação força a superfície lisa contra o ponto E quando o parafuso é apertado. Se a força de tração no parafuso for de 40   k N , determine as tensões principais nos pontos A e B e mostre os resultados em elementos localizados em cada um desses pontos. A área da seção transversal em A e B é mostrada na figura adjacente.

Passo 1

Primeiro, vamos calcular as forças de reações no pino e no ponto E .

Fazendo a soma de momentos em relação a pino e considerando o sentida anti-horário como sendo positivo:

⤻ + ∑ M p = 0

- 40   k N ⋅ 0,3   m + R E ⋅ 0,5   m = 0

R E = 40   k N ⋅ 0,3   m 0,5   m

R E = 24   k N

E agora, vamos fazer a soma de forças no eixo x , chamando a reação no pino de R p e considerando o sentido da direita como positivo:

→ + ∑ F x = 0

R p - 40   k N + 24   k N = 0

R p = 16   k N

Passo 2

Agora, faremos a análise dos esforços cortantes e momentos fletores:

→ + ∑ F x = 0

24   k N -   V = 0

V = 24   k N

↶ + ∑ M = 0

M - 24   k N × 0,1   m = 0

M = 24   k N × 0,1   m

M = 2,4   k N ⋅ m

Passo 3

Neste passo, iremos calcular o momento de inércia da seção transversal. Sabemos que para seções retangulares, temos a seguinte equação de momento de inércia:

I = 1 12 ( b h 3 )

Onde b é o tamanho da parede paralela ao eixo e h é o tamanho da parede perpendicular ao eixo.

I = ( 0,03   m ) ( 0,05   m ) 3 12

I = 3,125 × 10 - 7   m 4

Passo 4

Como os cálculos realizados acima são comuns aos dois pontos, iremos dividir a questão, resolvendo primeiro o que foi pedido para o ponto A e depois para o ponto B .

Cálculo da tensão no ponto A :

σ A = M y A I

σ A = - 2,4 × 10 3   N ⋅ m 0,025   m 3,125 × 10 - 7 m 4

σ A = - 192   M P a   ( C o m p r e s s ã o )

Cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto A :

τ A = V Q A I t

τ A = ( 24 × 10 3   N ) ( 0   m 3 ) ( 3,125 × 10 - 7 m 4 ) ( 0,03 m )

τ A = 0   M P a

Passo 5

Calcularemos, então, as tensões principais no ponto A :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = ( 0   M P a ) + ( - 192   M P a ) 2 ± 0   M P a - ( - 192   M P a ) 2 2 + ( 0   M P a ) 2

σ 1,2 = - 96   M P a ± 96   M P a

Obtemos então, duas tensões σ 1 e σ 2 :

σ 1 = σ x = 0   M P a

σ 2 = σ y = - 192   M P a

Passo 6

Agora, fazendo as contas para o ponto B , temos:

Cálculo da tensão no ponto B :

σ B = M y B I

σ B = 2,4 × 10 3   N ⋅ m ( 0   m ) 3,125 × 10 - 7 m 4

σ B = 0   M P a  

Cálculo da tensão máxima de cisalhamento no ponto B :

τ B = V Q B I t

τ B = ( 24 × 10 3   N ) ( 0,0125 × 0,025 × 0,03   m 3 ) ( 3,125 × 10 - 7 m 4 ) ( 0,03   m )

τ B = 24   M P a

Passo 7

E por fim, o cálculo das tensões principais no ponto B :

σ 1,2 = σ x + σ y 2 ± σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

σ 1,2 = ( 0   M P a ) + ( 0   M P a ) 2 ± 0   M P a - ( 0   M P a ) 2 2 + ( 24   M P a ) 2

σ 1,2 = 0   M P a ± 24   M P a

Obtemos então novamente, duas tensões σ 1 e σ 2 :

σ 1 = 24   M P a

σ 2 = - 24   M P a

Passo 8

Calcularemos, agora, o ângulo que o elemento será rotacionado:

t g 2 θ p = τ x y σ x - σ y 2

t g 2 θ p = ( - 24   M P a ) 0   M P a - ( 0   M P a ) 2

t g 2 θ p = - ∞

E devemos calcular o arco tangente do valor encontrado:

tg - 1 ⁡ 2 θ P = - ∞

θ P 1 = - 45 °

Esse ângulo é o quanto um dos eixos do elemento está deslocado. Para achar o outro, devemos somar 90 °   com o valor de θ P 1 :

θ P 2 = - 45 ° + 90 ° = 45 °

Resposta

As tensões principais no ponto A são:

σ 1 = σ x = 0   M P a

σ 2 = σ y = - 192   M P a

E as tensões no ponto B são:

σ 1 = 24   M P a

σ 2 = - 24   M P a

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