Enunciado

2.39. Determine a intensidade de F 1 e sua direção θ, de modo que a força resultante seja direcionada verticalmente para cima e tenha a intensidade de 800   N .

Passo 1

O exercício pede para que a gente calcule a intensidade de F 1   e sua orientação θ , para que a força resultante esteja no sentido positivo de y e tenha o valor de

F R = 800   N

Daqui a gente pode tirar duas coisas. Se nossa resultante está somente no eixo y , a componente em x dela é zero, e componente y vai ser igual ao seu módulo, assim

F R x = 0

F R y = 800   N

Então, o que podemos fazer é achar expressões para F R x e F R y e igualar a esses valores. Assim teremos duas equações, suficientes para achar nossas duas incógnitas.

Vem!

Passo 2

Vamos determinar a componente de F R no eixo x. Aí a gente decompõe nossas forças nesse eixo e soma.

A componente de F 1 vai ser

F 1 x = F 1 sin ⁡ θ

Usamos seno porque nosso ângulo θ está oposto ao eixo x .

O contrário acontece para F 2 = 400   N . O ângulo de 30 ° está coladinho em x . Então vamos usar cosseno na componente em x :

F 2 x = 400 cos ⁡ 30 °

Para F 3 = 600   N , a gente vai usar as relações trigonométricas do triângulo retângulo.

Vamos chamar o ângulo que essa força faz com a horizontal de β . Como ele está coladinho em x , nossa componente em x fica

F 3 x = - F 3 cos ⁡ β

Ela é negativa, porque está no sentido negativo de x . Lembrando que

cos ⁡ β = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = 4 5

Temos:

F 3 x = - F 3 4 5

Passo 3

Achamos a expressão para a resultante F R x somando todas as componentes em x que achamos:

F R x = F 1 ⋅ sin ⁡ θ + 400 ⋅ cos ⁡ 30 ° - 600 4 5

Lembra que F R x = 0

0 = F 1 ⋅ sin ⁡ θ + 400 ⋅ cos ⁡ 30 ° - 600 4 5

Daí tiramos

F 1 ⋅ sin ⁡ θ = - 400 ⋅ cos ⁡ 30 ° + 600 4 5

F 1 ⋅ sin ⁡ θ = 133,6

Passo 4

Agora a gente calcula as componentes no eixo y

Para F 1 , como θ está colado em y :

F 1 y = F 1 cos ⁡ θ

Para F 2 o ângulo de 30 ° está oposto a y , então:

F 2 y = 400   s i n   30 °

E para F 3 , β está oposto a y também

F 3 y = 600 sin ⁡ β

Sendo que pelo triângulo retângulo que orienta nossa forcinha:

sin ⁡ β = c a t e t o   o p o s t o h i p o t e n u s a = 3 5

Então:

F 3 y = 600 3 5

Todas ficam positivas porque todas estão no sentido positivo de y .

Passo 5

A resultante nesse eixo fica:

F R y = F 1 ⋅ cos ⁡ θ + 400 ⋅ sin ⁡ 30 ° + 600 3 5

Lembrando que F R y = 800   N

800 = F 1 ⋅ cos ⁡ θ + 400 ⋅ sin ⁡ 30 ° + 600 3 5

F 1 ⋅ cos ⁡ θ = - 400 ⋅ sin ⁡ 30 ° - 600 3 5 + 800

F 1 ⋅ cos ⁡ θ = 240

Passo 6

Temos essas duas equações:

F 1 ⋅ sin ⁡ θ = 133,6 F 1 ⋅ cos ⁡ θ = 240

Tem algumas formas de resolver esse sistema, uma delas é essa aqui:

Elevamos as equações ao quadrado e somamos para sumir com o θ, afinal sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 1

F 1 2 ⋅ sin 2 ⁡ θ + F 1 2 ⋅ cos 2 ⁡ θ = 133,6 2 + 240 2

F 1 2 sin 2 ⁡ θ + cos 2 ⁡ θ = 75448,96

F 1 2 = 75448,96

F 1 = 75448,96 = 274,68  

Passo 7

Agora podemos usar F 1 para descobrir θ

F 1 ⋅ sin ⁡ θ = 133,6

274,68 ⋅ sin ⁡ θ = 133,6

θ = s i n - 1 133,6 274,68

θ = 29,1 °

Resposta

F 1 = 274,68   N θ = 29,1 °

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