Enunciado

28- Determine o momento de inércia polar e o raio de giração do triângulo isósceles mostrado na figura em relação ao ponto O .

Passo 1

Dividindo a figura nos dois triângulos retângulos divididos pelo eixo y (esses dois triângulos exercem a mesma inércia em x e em y ) e com isso podemos desenhar os elementos de área vertical e horizontal da seguinte maneira:

Onde y r e x r são as variáveis y e x da equação da reta diagonal e sabendo que essa reta passa pelos pontos ( 0,0 ) e b 2 , h logo a reta terá equação igual a:

y = m x + b

0 = 0 + b

E

h = m b 2 → m = 2 h b

Então a equação da reta vale:

y r = 2 h x b

Essa seria y r e como isso x r será:

x = b y 2 h

Então o elemento de área horizontal será igual a:

d A = b y 2 h d y  

E o elemento de área vertical será:

d A = h - 2 h x b d x = b h - 2 h x b d x

Passo 2

Vamos calcular a área pelo elemento da área horizontal sabendo que y varia de 0 até h . E que temos dois triângulos, nos dando a seguinte integral de área.

A = 2 ∫ 0 h b y 2 h d y

Dessa forma:

A = b h y 2 2 0 h = b h 2 2 h = b h 2

E com esse mesmo elemento de área nós podemos calcular a inércia em x :

I x = 2 ∫ 0 h y 2 b y 2 h d y  

Não de esquecendo que temos dois triângulos e a linha horizontal considerando apenas um triângulo somente.

I x = b h y 4 4 0 h = b h 3 4

Passo 3

Agora para calcular a inércia em y nós vamos utilizar o elemento de área vertical e nos dará:

I y = ∫ x 2   b h - 2 h x b d x

Onde x varia de - b / 2 até b / 2 ou duas vezes a linha que vai de 0 até b / 2 .

I y = 2 b ∫ 0 b 2 b h x 2 - 2 h x 3 d x

Fazendo essa integral temos:

I y = 2 b b h x 3 3 - 2 h x 4 4 0 b 2

I y = 2 b b h b 3 24 - h b 4 32 = 2 h b 3 24 - h b 3 32

I y = h b 3 48

Dessa forma a inércia polar será igual a:

J = I x + I y = b h 3 4 + h b 3 48

J = b h 4 h 2 + b 2 12

Passo 4

Como encontramos a área e a inércia polar então vamos encontrar o raio de giro polar:

k = J A

k = b h 4 h 2 + b 2 12 b h 2 = 1 2 h 2 + b 2 12  

Resposta

J = b h 4 h 2 + b 2 12

k = 1 2 h 2 + b 2 12  

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