Enunciado

2.97 A ponta de um cabo coaxial AE é fixada ao poste AB que é ancorado pelos fios AC e AD. Sabendo que a tensão do fio AC é 670 N e a resultante da forças exercidas em A pelos fios AC e AD sevem estar contidas no plano x y , determine (a) a tensão em AD, (b) a intensidade, a direção e o sentido da resultante das duas forças.

Passo 1

Nesse exercício a gente tem o módulo de uma das forças e os ângulos θ y e ϕ , esse é o Caso 1 da Metodologia para resolução de problemas que o livro nos ensina. Como temos esses ângulos só precisamos decompor as forças e somar os dois vetores e como a resultante está no plano x y a resultante em z deve ser nula. Para decompor as forças podemos usar as equações 2.16 :

F y = F cos ⁡ θ y

e 2.17 :

F x = F sen ⁡ θ y cos ⁡ ϕ

F z = F sen ⁡ θ y sen ⁡ ϕ

Passo 2

Primeiro vamos decompor a força F A C :

Seu módulo é:

F A C = 67 0   N

Sabemos que o θ y A C é o ângulo que o vetor faz com a parte positiva do eixo y , mas ali na imagem temos o ângulo que o fio faz com o plano x z , o complementar desse ângulo será o ângulo que o fio faz com a parte negativa do eixo y , que é 30 ° .

Mas o θ y A C será o suplementar desse angulo, pois devemos pegar o ângulo em relação a parte positiva não negativa do eixo, dessa forma:

θ y A C = 18 0 ° - 3 0 °

θ y A C = 1 50 °

E ϕ A C é o ângulo entre o plano do vetor e o plano x y , podemos ver isso lá na dedução da fórmula na pagina 47. Nesse caso esse ângulo vai ser o 20 ° só que negativo:

ϕ A C = - 20 °

Agora é só aplicar nas fórmulas.

No eixo y :

F y A C = F cos ⁡ θ y A C

F y A C = 67 0 cos ⁡ 1 50 °

F y A C = - 5 80   N

Perceba que a força ficou negativa, que era o a gente queria , pois ela atua no sentido negativo do eixo y , se tivéssemos usado o ângulo θ y A C sendo 3 0 ° a gente ia precisar colocar o sinal negativo, depois de calcular o valor, para ficar correto.

Eixo x :

F x A C = F A C sen ⁡ θ y A C cos ⁡ ϕ A C

F x A C = 67 0 sen ⁡ 1 50 ° cos ⁡ - 20 °

F x A C = 3 15   N

Eixo z :

F z A C = F sen ⁡ θ y A C sen ⁡ ϕ A C

F z A C = 67 0 sen ⁡ 1 50 ° sen ⁡ - 20 °

F z A C = - 1 15   N

Escrevendo isso na forma vetorial, temos que:

F A D = 3 15   i - 5 80   j - 1 15   k

Passo 3

E para a força F A D vamos fazer o mesmo processo:

O ângulo θ y A D vai ser o suplementar do que aparece na imagem:

θ y A D = 18 0 ° - 36 °

θ y A D = 14 4 °

E o ângulo ϕ A D é o complementar do 45 ° , que no caso é o próprio 45 ° :

ϕ A D = 90 ° - 45 °

ϕ A D = 45 °

Nós queremos descobrir o módulo de F A D e como foi falado no Passo 1 a gente sabe que o módulo das forças F z A D = F z A C , então vamos desenvolver isso:

F z A D = 115   N

Pela fórmula 2.17:

F A D sen ⁡ θ y A D sen ⁡ ϕ A D = 115

F A D = 115 sen ⁡ θ y A D sen ⁡ ϕ A D

F A D = 115 sen ⁡ 144 ° sen ⁡ 45 °

F A D = 277   N

Com o módulo da força podemos calcular as outras componentes dela.

Eixo y :

F y A D = F A D cos ⁡ θ y A D

F y A D = 277 cos ⁡ 144 °

F y A D = - 22 4   N

Eixo x :

F x = F sen ⁡ θ y cos ⁡ ϕ

F x = 300 sen ⁡ 40 ° cos ⁡ - 20 °

F x = 181,2   N

Eixo z :

F z = F sen ⁡ θ y sen ⁡ ϕ

F z = 400 sen ⁡ 40 ° sen ⁡ - 20 °

F z = - 66,0   N

Escrevendo isso na forma vetorial, temos que:

Q = 181,2   i + 229,8   j - 66,0   k

Passo 4

Somando essas duas forças:

R = P + Q

R = - 89,7   i + 200,0   j + 334,6   k + 181,2   i + 229,8   j - 66,0   k

R = 91,5   i + 429,8   j + 268,6   k

Para descobrir o módulos é só aplicar na fórmula 2.18 :

R = R x 2 + R y 2 + R z 2

R = 91,5 2 + 429,8 2 + 268,2 2

R = 514,8   N

E a direção se dá pelo ângulos θ x , θ y e θ z , e só precisamos aplicar nas fórmulas:

cos ⁡ θ x = F x F

cos ⁡ θ y = F y F

cos ⁡ θ z = F z F

Substituindo os valores que temos:

cos ⁡ θ X = 91,5 514,8

θ x = cos - 1 ⁡ 91,5 514,8

θ x = 79,8 °

Para θ y :

cos ⁡ θ y = 429,8 514,8

θ y = cos - 1 ⁡ 429,8 514,8

θ y = 33,4 °

Para θ z :

cos ⁡ θ z = 268,2 514,8

θ z = cos - 1 ⁡ 268,2 514,8

θ z = 58,6 °

Resposta

R = 514,8   N

θ x = 79,8 °

θ y = 33,4 °

θ z = 58,6 °

Exercícios de Livros Relacionados

O semicírculo com diâmetro P Q está sobre um triangulo isósceles P Q R para formar uma região com um formato de sorvete, conforme mostra a figura. Se A ( θ ) for a área do semicírc...
46. Determine as forças no elemento G C da treliça e indique que se ele está sob tração ou compressão.
Calcule o centroide da área a seguir em termos das variáveis dos raios:
Considere o trilho de uma estrada de ferro reta e horizontal com um vagão ferroviário de 50000kg se deslocando ao longo da linha férrea a uma velocidade constante de 15m/s. Determi...
Uma correia feita de material isolante, com 50   c m de largura, se move a uma velocidade de 30   m / s . A carga que a correia transporta até um aparelho de laboratório correspond...
Se A for uma matriz m × n e se o sistema linear A x = b for consistente com qualquer vetor b em R m , o que pode ser dito sobre a imagem de T A : R n → R m ?
(Requer cálculo) Seja V o espaço vetorial das funções reais com derivadas continuas de todas as ordens no intervalo   - ∞ ,   ∞ e W = F ( - ∞ ,   ∞ ) o espaço vetorial de todas as ...
Calcule a integral. ∫ z 3 e z   d z
Seja E uma matriz elementar 2 × 2 fixada. Decida se a fórmula T A = E A define um operador linear injetor de M 2 × 2 . Explique seu raciocínio.
Seja a um vetor em R 3 fixado. Decida se a fórmula T v = a × v define um operador linear injetor de R 3 . Explique seu raciocínio.
Em cada parte, determine se a multiplicação por A é uma transformação linear injetora. A = 1 - 2 2 - 4 - 3 6 A = 1 3 5 7 2 - 1 2 4 - 1 3 0 0 A = 4 - 2 1 5 5 3
Escreva cada combinação de vetores como um único vetor. P Q → + Q R → R P → + P S → Q S → - P S → R S → + S P → + P Q →