40. Determine, diretamente por integração, o centróide da superfície da figura.

Passo 1

Falaaa.. belezinha???

Nessa questão vamos usar as equações para centróide:

x - A = ∫ x - e l d A

y - A = ∫ y - e l d A

E já vamos começar fazendo o desenho da figura e separando um elemento infinitesimal:

Passo 2

Vamos primeiro achar a área da figura:

A = ∫ d A

Temos a equação da curva:

y = b 1 - k x 3

E se liga só que podemos achar o valor de k ..

Para y = 0 temos x = a , então:

0 = b 1 - k a 3

1 - k a 3 = 0

k = 1 a 3

Agora precisamos definir quem é o bendito d A .

Repara só que a gente pegou um elemento beeeemmmm fininho, de largura d x , então podemos considerar esse elemento como um retângulo de largura d x e altura y .

Daí então temos que:

d A = y   d x

E aí sim podemos calcular a área:

A = ∫ 0 a y d x

A = ∫ 0 a b 1 - 1 a 3 x 3 d x

A = b x - x 4 4 a 3 0 a

A = b a - a 4 4 a 3

A = b a - a 4

A = 3 4 a b

E para a posição do centróide do elemento:

x - e l = x

y - e l = y 2

Passo 3

Agora sim é só partir pro abraço e usar as equações.

Para x :

x - A = ∫ x - e l d A

x - 3 4 a b = ∫ 0 a x   y d x

x - 3 4 a b = ∫ 0 a x b 1 - 1 a 3 x 3 d x

x - 3 4 a b = b ∫ 0 a x - 1 a 3 x 4 d x

x - 3 4 a b = b x 2 2 - x 5 5 a 3 0 a

x - 3 4 a b = b a 2 2 - a 5 5 a 3

x - 3 4 a b = b a 2 2 - a 2 5

x - 3 4 a b = b 3 10 a 2

x - 3 4 a b = b 3 10 a 2

x - = 2 5 a

Passo 4

Para y :

y - A = ∫ y - e l d A

y - 3 4 a b = ∫ y 2   y d x

y - 3 4 a b = ∫ 0 a b 1 - 1 a 3 x 3 2   b 1 - 1 a 3 x 3 d x

y - 3 4 a b = b 2 2 ∫ 0 a 1 - 1 a 3 x 3 2 d x

y - 3 4 a b = b 2 2 ∫ 0 a 1 - 2 a 3 x 3 + 1 a 6 x 6 d x

y - 3 4 a b = b 2 2 x - 2 x 4 4 a 3 + x 7 7 a 6 0 a

y - 3 4 a b = b 2 2 a - 2 a 4 4 a 3 + a 7 7 a 6

y - 3 4 a b = b 2 2 a - 1 2 a + 1 7 a

y - 3 4 a b = b 2 2 9 14 a

y - = 3 7 b

Mais uma já foi... Partiu pra próxima?

Resposta

x - = 2 5 a

y - = 3 7 b