A aceleração de uma partícula é dada por a = 4 t - 30 , onde a está em metros por segundo ao quadrado e t está em segundos. Determine a velocidade e o deslocamento como funções do tempo. O deslocamento inicial em é t = 0 e s 0 = - 5 m , e a velocidade inicial é v 0 = 3   m / s .

Passo 1

E ai seres de luz, tudo bem?

Bora resolver mais uma?

Encostaaa!!

Pelo enunciado foi dado que a aceleração da partícula é a = 4 t - 30

Calculando a velocidade da partícula usando a equação da aceleração

a = d v d t

4 t - 30 = d v d t

d v = 4 t - 30 d t

Integrando a equação para obter a velocidade da partícula, temos

∫ d v = ∫ 4 t - 30 d t

v = 4 × t 2 2 - 30 t + C 1

v = 2 t 2 - 30 t + C 1

Passo 2

A condição de contorno que foi nos dada é de t = 0 ,   v 0 = 3   m / s

v = 2 t 2 - 30 t + C 1

3 = 2 0 2 - 30 0 + C 1

C 1 = 3

Substituindo

v = 2 t 2 - 30 t + C 1

v = 2 t 2 - 30 t + 3   m / s

Portanto, a velocidade da partícula em função do tempo é v = 2 t 2 - 30 t + 3   m / s  

Passo 3

Calculando o deslocamento da partícula usando a equação da aceleração

v = d s d t

2 t 2 - 30 t + 3 = d s d t

d s = 2 t 2 - 30 t + 3 d t

Integrando a equação para obter a velocidade da partícula, temos

∫ d v = ∫ 2 t 2 - 30 t + 3 d t

s = 2 t 3 3 - 30 t 2 2 3 t + C 2

s = 2 t 3 3 - 15 t 2 + 3 t + C 2

Passo 4

A condição de contorno que foi nos dada é de t = 0 ,     s = - 5   m

s = 2 t 3 3 - 15 t 2 + 3 t + C 2

- 5 = 2 0 3 3 - 15 0 2 + 3 0 + C 1

C 2 = - 5

Substituindo

s = 2 t 3 3 - 15 t 2 + 3 t - 5 m

Portanto, o deslocamento da partícula em função do tempo é

s = 2 t 3 3 - 15 t 2 + 3 t - 5 m

Resposta

Portanto, a velocidade da partícula em função do tempo é v = 2 t 2 - 30 t + 3   m / s   .

Portanto, o deslocamento da partícula em função do tempo é

s = 2 t 3 3 - 15 t 2 + 3 t - 5 m