Se a amplitude de um oscilador amortecido diminui para 1 / e de seu valor inicial após n períodos, demonstre que a frequência do oscilador deverá ser aproximadamente

1 - 8 π 2 n 2 - 1 vezes a frequência do oscilador não amortecido correspondente.

Passo 1

Fala aew, povo inteligente, tudo tranquilo?

Bora pra mais resolução.

Vamos relembrar qual a amplitude de um oscilador não amortecido:

x t = A e - β t cos ⁡ ( ω 1 t + δ )

Onde a amplitude é dada por x e n v = A e - β t

Após n períodos x e n v 2 = A e - β ( t + n T )  

Passo 2

Mas segundo o enunciado:

x e n v 2 = 1 e x e n v → A e - β t + n T = 1 e ⋅ A e - β t → e - β t - β n T = e - β t - 1

β n T = 1 → β n 2 π ω 1 = 1 → β = ω 1 2 π n

Passo 3

A frequência de oscilações amortecidas é dada por:

ω 1 2 = ω 0 2 - β 2

ω 0 2 = ω 1 2 + ω 1 2 π n 2   → ω 0 2 = ω 1 2 1 + 1 4 π 2 n 2

ω 1 ω 0 = 1 + 1 4 π 2 n 2 - 1 2

Pela aproximação de Taylor, onde 1 + x n ≅ 1 + n x ,     p a r a   x ≪ 1 , podemos fazer:

ω 1 ω 0 ≅ 1 - 1 8 π 2 n 2

Resposta

Demonstração