Um arco fino de raio R e massa M oscila em seu próprio plano pendurado por um único ponto fixo. Ligada ao aro está uma pequena massa M restringida ao movimento (sem atrito) ao longo do aro. Considere apenas pequenas oscilações e mostre que as autofrequências são:

ω 1 = 2 g R   e   ω 2 = 2 2 g R

Encontre os dois conjuntos de condições iniciais que permitem ao sistema oscilar em seus modos normais. Descreva a situação física para cada modo.

Passo 1

E aí pessoal, belezinha? Vamos trabalhar agora em algumas questões de oscilações acopladas.

O esquema do problema apresentado:

Seja O o ponto fixo no aro e a origem do sistema de coordenadas. P é o centro de massa do aro e Q(x,y) é a posição da massa M. As coordenadas de Q são:

x = R s e n   θ + s e n   ϕ   e   y = - R ( cos ⁡ θ + cos ⁡ ϕ )

A inércia rotacional do aro através de O é:

I O = I C M + M R 2 = 2 M R 2

A energia potencial do sistema é:

U = U a r o + U m a s s a = - M g R ( 2 cos ⁡ θ + cos ⁡ ϕ )

Como θ e φ são ângulos pequenos, podemos usar cos ⁡ x = 1 - x 2 2 . Então, descartando o termo constante em U, temos:

U = 1 2 M g R 2 θ 2 + ϕ 2

A energia cinética do sistema é:

T = T a r o + T m a s s a = 1 2 I O θ ˙ 2 + 1 2 M x ˙ 2 + y ˙ 2 = M R 2 θ ˙ 2 + 1 2 M R 2 θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 + 2 θ ˙ ϕ ˙

Onde usamos novamente as aproximações de pequeno ângulo para θ e φ. Desta forma:

T = 1 2 M R 2 3 θ ˙ 2 + ϕ ˙ 2 + 2 θ ˙ ϕ ˙

Usando Eqs. (12.34):

T = 1 2 ∑ j , k m j k q ˙ j q ˙ k   e   U = 1 2 ∑ j , k A j k q j q k

Identificamos os elementos de {m} e {A}:

m = M R 2 3 1 1 1   e   A = M g R 2 0 0 1

Que nos dá o determinante:

2 g R - 3 ω 2 - ω 2 - ω 2 g R - ω 2 = 0 = > 2 g R - 3 ω 2 g R - ω 2 - ω 4 = 0

Do qual:

3 ω 4 - 5 g R ω 2 + 2 g R 2 = 0

Resolvendo para as frequências próprias, encontramos:

ω 1 = 2 g R   e   ω 2 = 2 2 g R

Para obter os modos normais, devemos resolver:

∑ j A j k - ω r 2 m j k a j r = 0

Para k = r = 1, isso se torna:

2 m g R - 2 g R 3 m R 2 a 11 - 2 g R   m R 2 a 21 = 0

Ou:

a 21 = - 2 a 11

Para k = 1, r = 2, o resultado é:

a 22 = a 12

Assim as equações:

x 1 = a 11 η 1 + a 12 η 2   e   x 2 = a 21 η 1 + a 22 η 2

Podem ser reescritas como:

x 1 = a 11 η 1 + a 22 η 2   e   x 2 = - 2 a 11 η 1 + a 22 η 2

Resolvendo para η1, η2:

η 1 = x 1 - x 2 3 a 11   e   η 2 = 2 x 1 + x 2 3 a 22

Sendo que:

η 1   o c o r r e   q u a n d o   η 2 = 0 ,   o u   s e j a ,   q u a n d o   x 1 0 = - 1 2 x 2 0

Este é o modo antissimétrico em que o CM do aro e a massa estão em lados opostos da vertical através do ponto de pivô.

E:

η 2   o c o r r e   q u a n d o   η 1 = 0 ,   o u   s e j a ,   q u a n d o   x 1 0 = x 2 0

Este é o modo simétrico em que o ponto de pivô, o CM do aro e a massa sempre estão em uma linha reta.

Resposta

Ver passo a passo.