Um aro circular é suspenso em um plano horizontal por três fios, cada um com comprimento l , que são conectados simetricamente ao aro e aos pontos fixos dispostos em um plano sobre o aro. Em equilíbrio, cada fio é vertical. Demonstre que a frequência de oscilações rotacionais sobre o vertical através do centro do aro é a mesma que para um pêndulo simples de comprimento l .

Passo 1

Fala, galerinha. Estamos aqui pra mais um exercício, mas calma que vou te ajudar nessa.

Primeiro vamos entender o que está rolando nesse exercício. Temos um plano e um aro que está ligado a esse plano por três fios, simétricos e estão fixos no plano. O aro que se move e vai girar com pequenas oscilações. Segue o desenho que vai ajudar.

Os pontos A , B e C são os pontos fixos no plano e os pontos A ’ , B ’ e C ’ são os pontos no aro e que vão girar. Primeiro precisamos achar a energia cinética e potencial como sempre nesse tipo de exercício. Como os eixos x e y são fixos, vamos usar as coordenadas z e θ , já que é nessas coordenadas que o movimento vai acontecer.

Passo 2

Para a energia cinética temos a parte rotacional e a parte translacional, então vai ficar

T = 1 2 I ω 2 + 1 2 M z ˙

Como temos um aro, vamos ter

I = M R 2

E como ω = θ ˙ vamos ter a energia cinética na forma

T = 1 2 M R 2 θ 2 ˙ + 1 2 M z ˙

O termo z ˙ é uma derivada de z em relação a t e pode ser colocado como uma derivada de θ através pela regra da cadeia, ficando na forma

z ˙ = ∂ z ∂ t = ∂ z ∂ θ   ⋅ ∂ θ ∂ t = ∂ z ∂ θ ⋅ θ ˙

Substituindo na equação da Energia Cinética, temos

T = 1 2 M R 2 θ ˙ 2 + 1 2 M ∂ z ∂ θ 2 θ ˙ 2

Mas como queremos para pequenas oscilações, o termo da derivada de z em relação a θ será zero, assim a energia cinética fica

T = 1 2 M R 2 θ ˙ 2

Para a energia potencial, temos

U = M g z

Mas olhando o sistema da figura, temos que z depende de l , R e θ . Vamos entender como.

Olhando apenas pro plano do aro, vamos ter um pequeno ângulo, que vamos aproximar pra um triângulo

Como vemos na imagem, temos que esse d pode ser encontrado aplicando o teorema de Pitágoras, sendo que seus catetos são R s e n θ e R - R c o s θ .

d 2 = R - R c o s θ 2 + R s e n θ 2

Agora vendo o triângulo maior, que é formado por d , z e l , já que a distância que ele deslocou quando fez o ângulo foi d . Assim, vamos ter

l 2 = z 2 + d 2

Substituindo o valor de d que achamos, ficamos com

l 2 = z 2 + R - R c o s θ 2 + R s e n θ 2

Isolando z 2 temos

z 2 = l 2 - R - R c o s θ 2 - R s e n θ 2

z 2 = l 2 - R 2 - 2 R 2 c o s θ + R 2 cos 2 ⁡ θ - R 2 s e n 2 θ

z 2 = l 2 - R 2 + 2 R 2 c o s θ - R 2 cos 2 ⁡ θ - R 2 s e n 2 θ

z 2 = l 2 - R 2 + 2 R 2 c o s θ - R 2 ( cos 2 ⁡ θ + s e n 2 θ )

z 2 = l 2 - R 2 + 2 R 2 c o s θ - R 2

z 2 = l 2 + 2 R 2 c o s θ - 2 R 2

z 2 = l 2 + 2 R 2 ( c o s θ - 1 )

z = l 2 + 2 R 2 c o s θ - 1

Levando em conta que quando θ = 0 temos z = - l , escrevemos

z = - l 2 + 2 R 2 c o s θ - 1

Tendo o z , podemos escrever a energia potencial

U = - M g l 2 + 2 R 2 c o s θ - 1

Como estamos considerando o ângulo θ pequeno, podemos usar a aproximação c o s θ - 1 ≈ - θ 2 2 . Substituindo na nossa equação da energia potencial, temos

U = - M g l 2 + 2 R 2 - θ 2 2

U = - M g l 2 - R 2 θ 2

Colocando l em evidência na raiz e tirando ele para fora, temos

U = - M g l 1 - R 2 θ 2 l 2

Como sabemos que θ é pequeno, essa expressão com θ também é pequena e assim podemos aplicar a aproximação de Taylor, onde temos

1 - x 2 ≈ 1 - x 2 2

Substituindo na expressão da energia potencial, temos

U = - M g l 1 - R 2 θ 2 2 l 2

Passo 3

Tendo as duas energias, é só encontrar a Lagrangiana e as equações de movimento pelas equações de Euler-Lagrange.

L = T - U

L = 1 2 M R 2 θ ˙ 2 + M g l 1 - R 2 θ 2 2 l 2

Como as equações de Euler-Lagrange são

∂ L ∂ θ - d d t ∂ L ∂ θ ˙ = 0

Temos

∂ L ∂ θ = - M g R 2 θ l

∂ L ∂ θ ˙ = M R 2 θ ˙

d d t ∂ L ∂ θ ˙ = M R 2 θ ¨

- M g R 2 θ l - M R 2 θ ¨ = 0

- M R 2 θ ¨ + M g R 2 θ l = 0

M R 2 θ ¨ + M g R 2 θ l = 0

M R 2 θ ¨ + g l θ = 0

θ ¨ + g l θ = 0

Observando essa equação, temos que a frequência de oscilação é a mesma do pêndulo simples, sendo

ω = g l

Resposta

ω = g l

Como no pêndulo simples.

Mais um problema feito. Bora pra mais um?