Um aro de massa m e raio R roda sem deslizar para baixo de um plano inclinado de massa m, que forma um ângulo a com a horizontal. Encontre as equações de Lagrange e as integrais de movimento se o plano puder deslizar sem fricção ao longo de uma superfície horizontal.

Passo 1

Faaaaaala, galera... Tranquileba??

Façamos um esboço da situação dita no enunciado:

Onde decidimos escolher ξ e S como nossas coordenadas generalizadas. Assim as coordenadas x y para o centro do aro são expressos por:

x = ξ + S cos ⁡ α + r sin ⁡ α

y = r cos ⁡ α + l - S sin ⁡ α

Bora pro próximo passo?!

Passo 2

Obrigado por vir.

De onde podemos a energia cinetica, que é:

T a r o = 1 2 m x ' 2 + y ' 2 + 1 2 I ϕ ' 2 =

1 2 m ξ ' + S ' cos ⁡ α 2 + - S ' sin ⁡ α 2 + 1 2 I   ϕ ' 2

Usamos que I = m r 2 e S = r ϕ :

T a r o = 1 2 m 2 S ' 2 + ξ ' 2 + 2 ξ ' S ' cos ⁡ α

E como dito, o plano também desliza, logo:

T p l a n o = 1 2 M ξ ' 2

Assim, a energia total é:

T = T a r o + T p l a n o = 1 2 m 2 S ' 2 + ξ ' 2 + 2 ξ ' S ' cos ⁡ α + 1 2 M ξ ' 2

T = m S ' 2 + 1 2 m + M ξ ' 2 + m ξ ' S ' cos ⁡ α

E a energia potencial é somendo do aro:

U = m g y = m g r cos ⁡ α + l - S sin ⁡ α  

E enfim a lagragiana é:

L = T - U = m S ' 2 + 1 2 m + M ξ ' 2 + m ξ ' S ' cos ⁡ α - m g r cos ⁡ α + l - S sin ⁡ α

Passo 3

E a matriz de equação de movimento para as coordenadas ξ e S

∂ L ∂ S   - d d t ∂ L ∂ S ' = 0 ∂ L ∂ ξ   - d d t ∂ L ∂ ξ ' = 0

Assim:

2 m S ' ' + m ξ ' ' cos ⁡ α - m g sin ⁡ α = 0

m + M ξ ' ' + m S ' ' cos ⁡ α = 0

Resposta

2 m S ' ' + m ξ ' ' cos ⁡ α - m g sin ⁡ α = 0

m + M ξ ' ' + m S ' ' cos ⁡ α = 0