Enunciado

Uma barra de aço e uma de alumínio são unidas firmemente, para formar a viga composta mostrada. Os módulos de elasticidade para o alumínio é de 70   G P a e para o aço 200   G P a . Sabendo-se que a viga é curvada em torno de um eixo horizontal por um momento M = 1500   N ⋅ m , determine o raio de curvatura causado pelo momento fletor.

Passo 1

O problema pede a maior curvatura que é dada por:

1 ρ = M E 1 ⋅ I

Onde:

  • ρ é o raio de curvatura.
  • M é o momento fletor.
  • I o momento de inércia.
  • E 1 é o módulo de elasticidade do material base da seção composta.

Vamos ter que achar a seção transformada.

Então vamos lá!

Passo 2

O cálculo da seção transformada é feito da seguinte maneira, sabendo que a viga é encurvada no eixo horizontal. Originalmente temos:

Observe que a linha central (com traços e pontos) está representando o eixo por onde a a viga é encurvada.

Agora vamos transformar essa peça em uma outra equivalente e toda feita de alumínio. Fazemos isso por meio de uma relação da forma:

n = E a ç o E A l

n = 200 70

n = 2,857

Presta atenção agora! Vamos pegar as dimensões da peça de aço que são paralelas ao eixo e multiplicar pelo fator n = 2,857 . Obtendo a seção transformada:

Pronto! Temos a seção transformada (toda em alumínio no caso). Agora vamos calcular o momento de inércia desta seção no passo 3.

Passo 3

O momento de inércia é calculado normalmente, para seções retangulares, da forma:

I = b ⋅ h 3 12

Mas como essa peça não é simétrica, nós temos de achar a linha neutra através de contas. Vamos fazer isso da seguinte forma:

Y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A

Onde:

  • Y - é a posição da linha neutra em relação ao centro da peça.
  • y - é a posição do centroide de cada parte da peça.
  • A é a área de cada parte da peça.

Assim vamos ter:

Onde 30   m m é a distância y - do centro da peça ao centroide da parte superior. Assim, vamos achar a posição da linha neutra em:

Y - = ∑ y - ⋅ A ∑ A

Y - = 30 ⋅ 30 ⋅ 20 + 0 85,71 ⋅ 40 + ( 30 ⋅ 20 )

Aqui colocamos todas as dimenstões em milímetros e vale lembrar que a distância do centroide da parte inferior ao eixo é igual a zero.

Y - = 18000 3428,4 + 600

Y - = 4,47   m m

Logo a posição da linha neutra, representada pela linha amarela, será:

Passo 4

Voltando ao cálculo do momento de inércia:

I = b ⋅ h 3 12

Para a parte inferior vamos ter de aplicar o teorema dos eixos paralelos, onde d = Y - :

I i n f = b ⋅ h 3 12 + A ⋅ d ²

I i n f = ( 85,71 × 10 - 3 ) ⋅ ( 40 × 10 - 3 ) 3 12 + ( 85,71 × 10 - 3 ) ⋅ ( 40 × 10 - 3 ) ⋅ ( 4,67 × 10 - 3 ) ²

I i n f = 4,57 × 10 - 7 + 1,60 × 10 - 8

I i n f = 4,7312 × 10 - 7   m 4

Agora para a parte superior também teremos de aplicar o teorema dos eixos paralaleos, mas agora com d = 30 - Y - . (O 30 vem da distância entre os centroides das duas partes da peça).

I s u p = b ⋅ h 3 12 + A ⋅ d ²

I s u p = ( 30 × 10 - 3 ) ⋅ ( 20 × 10 - 3 ) 3 12 + ( 30 × 10 - 3 ) ⋅ ( 20 × 10 - 3 ) ⋅ ( 30 - 4,67 × 10 - 3 ) ²

I s u p = 2 × 10 - 8 + 3,85 × 10 - 7

I s u p = 4,05 × 10 - 7   m 4

I = I i n f + I s u p

I = 4,7312 × 10 - 7 + 4,05 × 10 - 7

I = 8,7812 × 10 - 7   m 4

Passo 5

Agora é só jogar na equação!

1 ρ = M E 1 ⋅ I

Como utilizamos o alumínio como metal base então E 1 = E A l = 70   G P a

1 ρ = 1500 70 × 10 9 ⋅ 8,7812 × 10 - 7

1 ρ = 0,0244   m - 1

ρ = 1 0,0244   m

ρ = 40,98   m

Resposta

ρ = 40,98   m

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