Enunciado

A barra uniforme é encurvada na forma de uma parábola e tem um peso por unidade de comprimento de 100   N / m . Determine as reações no apoio fixo A .

Passo 1

Fal ai galerinha bonita, tudo beleza?

Saca só, o enunciado nos deu barra em forma da função y 2 = x está presa a um apoio fixo, e sabendo que seu peso por unidade de comprimento é 100   N /m , o enunciado quer saber quais serão as forças de reação no apoio.

Belezoca, então a primeira coisa que a gente deve fazer, é esboçar um diagrama de corpo livre pra barra, mais ou menos assim:

Onde o peso P da barra, atua em um centro de gravidade G que a gente ainda não conhece! E A x , A y são as forças reativas e M A o momento no ponto A que precisamos encontrar.

Passo 2

Show de bolinhas, então antes de mais nada, vamos encontrar o comprimento da barra, pra gente encontrar a força de gravidade que está atuando. Então pra encontrar o comprimento da nossa barra, podemos lembrar que ela se trata de uma “linha”, ou seja, podemos usar os métodos de integração para descobrir o comprimento L dessa linha, através da relação:

L = ∫ d L

Logo:

L = ∫ 1 + f ' x 2 d x

Ou também podemos escrever em função de y :

L = ∫ 1 + f ' y 2 d y

Onde f é a função que descreve o arco. Belezinha, então se a gente tem que:

y 2 = x

Podemos dizer que x = f y , onde f y é dada como f y = y 2 . Desse modo podemos usar a segunda relação para calcular L , tal que:

f ' y = 2 y

Sendo assim, como y vai de 0 a 1 , teremos:

L = ∫ 0 1 1 + 2 y 2 d y

L = ∫ 0 1 1 + 4 y 2 d y

Portanto:

L = 1,47894   m

E como temos um peso por unidade de comprimento dado por 100   N/m , então o peso total da barra vai ser:

P = 100 × 1,47894  

P = 147,9   N

Passo 3

Belezoca, agora se a gente calcular o somatório das forças em x , vamos obter que:

∑ F x = 0

∑ F x = A x = 0

Logo a componente horizontal no apoio A será:

A x = 0

Iradoso, agora fazendo o somatório no eixo y , vamos obter que:

∑ F y = 0

∑ F y = A y - P = 0

Segue que:

A y = P

A y = 147,9   N

Passo 4

Maravilha, agora já descobrimos os valores das forças reativas no apoio em A , falta a gente encontrar o momento M A que ele exercer devido a força pessoa atuando no sistema:

Vamos ter que:

∑ M = M A - P x - = 0

Onde x - é componente x do centroide onde a força P atua. Ele será dado como:

x - = ∫ L   x ~ d L ∫ L   d L

Só que vimos que ∫ L   d L é o comprimento total L que já encontramos, agora devemos encontrar apenas ∫ L   x ~ d L , logo:

x - = ∫ L   x ~ d L L

Como x ~ = x , e vimos que d L = 1 + 4 y 2 d y , vamos ter que:

x - = 1 L ∫ 0 1 x 1 + 4 y 2 d y

Só que a malandragem agora, é que sabemos que x = y 2 , de modo que:

x - = 1 L ∫ 0 1 y 2 1 + 4 y 2 d y

Sendo assim:

x - = 0,60633 L

x - = 0,60633 1,47894

x - = 0,41   m

Passo 5

Sendo assim, podemos calcular o somatório dos momentos de modo que:

∑ M = M A - P x - = 0

M A - 147,9 0,41 = 0

M A = 147,9 0,4 1

Logo:

M A = 60,63   N .m

Resposta

M A = 60,63   N∙m

A y = 147 , 9   N

A x = 0   N

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